设a,b,c∈R,且a^3+b^3=2,证明a+b≤2

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 06:37:46
设a,b,c∈R,且a^3+b^3=2,证明a+b≤2

设a,b,c∈R,且a^3+b^3=2,证明a+b≤2
设a,b,c∈R,且a^3+b^3=2,证明a+b≤2

设a,b,c∈R,且a^3+b^3=2,证明a+b≤2
由于a^3+b^3=2 知道a,b不同时小于0
若a,b>0 有均值不等式 [(a^3+b^3)/2]^(1/3)>(a+b)/2可等结论
若a>0>b
记c=-b>0
反证:若a>2+c 则 2+c^3=a^3>(2+c)^3>2+c^3 矛盾 得证
(b>0>a类似)

证明:
∵a³ +b³=(a +b)³-3ab(a +b)
∵ab≤1/4(a +b)²
∴a³ +b³=(a +b)³-3ab(a +b)≥(a +b)³-3/4(a +b)²(a +b)=1/4(a +b)³
∵a,b∈R,且a³ +b³=2<...

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证明:
∵a³ +b³=(a +b)³-3ab(a +b)
∵ab≤1/4(a +b)²
∴a³ +b³=(a +b)³-3ab(a +b)≥(a +b)³-3/4(a +b)²(a +b)=1/4(a +b)³
∵a,b∈R,且a³ +b³=2
∴2≥1/4(a +b)³即得8(=2³)≥(a +b)³
∴a +b≤2

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