设abc∈R且a+b+c=1,求证a²+b²+c²≥1/3

设abc∈R且a+b+c=1,求证a²+b²+c²≥1/3
设abc∈R且a+b+c=1,求证a²+b²+c²≥1/3

设abc∈R且a+b+c=1,求证a²+b²+c²≥1/3
(a－b)²＋(b－c)²＋(c－a)²≥0
则：
a²＋b²＋c²≥ab＋bc＋ca
又：
(a＋b＋c)²=a²＋b²＋c²＋2(ab＋bc＋ca)≤(a²＋b²＋c²)＋2(a²＋b²＋c²)=3(a²＋b²＋c²)
得：
a²＋b²＋c²≥(1/3)(a＋b＋c)²
因：a＋b＋c=1
则：a²＋b²＋c²≥1/3

由柯西不等式
（a²+b²+c²）/3≥（（a+b+c）/3）²
立刻可以得出：a²+b²+c²≥1/3