在△ABC中,∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边在AD的右侧作正方形ADEF．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边在AD的右侧作正方形ADEF．解

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 04:35:09

在△ABC中,∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边在AD的右侧作正方形ADEF．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边在AD的右侧作正方形ADEF．解
在△ABC中,∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边在AD的右侧作正方形ADEF．
如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边在AD的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应的图形，并说明理由．
（3）若AC＝ 4根号2，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．
重要是第三问？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？

在△ABC中,∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边在AD的右侧作正方形ADEF．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边在AD的右侧作正方形ADEF．解
1）①CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等；
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
由正方形ADEF得 AD=AF ,∠DAF=90º．
∵∠BAC=90º,∴∠DAF=∠BAC ,∴∠DAB=∠FAC,
又AB=AC ,∴△DAB≌△FAC ,∴CF=BD
∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90º,AB=AC ,∴∠ABC=45º,∴∠ACF=45º,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥

（1）①CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等；
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
由正方形ADEF得 AD=AF ，∠DAF=90º．
∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ， ∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC ，∴△DAB≌△FAC ， ∴CF=BD
∠ACF=∠ABD．
∵∠...

全部展开

（1）①CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等；
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
由正方形ADEF得 AD=AF ，∠DAF=90º．
∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ， ∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC ，∴△DAB≌△FAC ， ∴CF=BD
∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90º， AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD
（2）画图正确
当∠BCA=45º时，CF⊥BD（如图丁）．
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG
可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º
∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即CF⊥BD

收起

全部展开

1）由∠ACB=45°，AB=AC，得∠ABD=∠ACB=45°；∴∠BAC=90°，由正方形ADEF，可得∠DAF=90°，AD=AF，∠DAF=∠DAC+∠CAF；∠BAC=∠BAD+∠DAC；∴∠CAF=∠BAD．可证△DAB≌△FAC（SAS），得∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．
（2）过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得出AC=AG，易证：△GAD≌△CAF，所以∠ACF=∠AGD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．
（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC=4 2，BC=3，CD=x，求线段CP的长．考虑点D的位置，分两种情况去解答．①点D在线段BC上运动，已知∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4．即DQ=4-x，
易证△AQD∽△DCP，∴CP
DQ
=CD
AQ
，∴CP
4-x
=x
4
，问题可求．②点D在线段BC延长线上运动时，∵∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4，∴DQ=4+x．过A作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，则△AGD≌△ACF，得CF⊥BD，由△AQD∽△DCP，得CP
DQ
=CD
AQ
，∴CP
4+x
=x
4
，问题解决．

收起

全部展开

收起

全部展开

（1）①CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等；（1分）
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立（如图3）．
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（3分）
（2）①画出图形（如图4），判断：（1）中的结论不成立．
②画出图形（如图5），判断：（1）中的结论不成立．（4分）
（3）当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图6）．
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∴AC=AG．
∵∠BCA=45°，
∴∠AGD=45°，
∴△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=45°．
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°
即CF⊥BD．（5分）
（4）当具备∠BCA=45°时，
过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，（如图7），
∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，
∵∠BCA=45°，AC=22，
∴由勾股定理可求得AQ=CQ=2．
设CD=x，∴DQ=2-x，
∵∠ADB+∠ADE+∠PDC=180°
且∠ADE=90°，
∴∠ADQ+∠PDC=90°，
又∵在直角△PCD中，∠PDC+∠DPC=90°
∴∠ADQ=∠DPC，
∵∠AQD=∠DCP=90°
∴△AQD∽△DCP，
∴CPDQ=CDAQ，∴CP2-x=x2．
∴CP=-12x2+x=-12（x-1）2+12．（7分）
∵0＜x≤32，
∴当x=1时，CP有最大值12．（8分）

收起

全部展开

证明：（1）①结合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD．
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度．
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．
即CF⊥BD．
（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．
理由：过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，
则∠GAC=90°，
∵∠ACB=45°，∠AGC=90°-∠ACB，
∴∠AGC=90°-45°=45°，
∴∠ACB=∠AGC=45°，
∴AC=AG，
∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，
∴△GAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠AGC=45°，
∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．

收起