AB是圆O的直径,AP是圆O的切线,A是切点 BP与圆O交于点C D为AP的中点求直线CD是圆O的切线（即证明∠OCD＝90°）

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 00:43:56

AB是圆O的直径,AP是圆O的切线,A是切点 BP与圆O交于点C D为AP的中点求直线CD是圆O的切线（即证明∠OCD＝90°）
AB是圆O的直径,AP是圆O的切线,A是切点 BP与圆O交于点C D为AP的中点求直线CD是圆O的切线（即证明∠OCD＝90°）

AB是圆O的直径,AP是圆O的切线,A是切点 BP与圆O交于点C D为AP的中点求直线CD是圆O的切线（即证明∠OCD＝90°）
证明：连接AC、OC.
∵AB是直径,点C在⊙O上.
∴∠ACB＝90°
AC⊥PB
在Rt⊿ACP中.点D是PA的中点.
∴AD＝PD＝CD
则：∠PCD＝∠P,∠ACD＝∠DAC.
∵OA＝OC
∴∠OAC＝∠OCA
∵AC⊥PB,PA是⊙O的切线
∴∠PAB＝90°
∠OAC＝∠P
∴∠PCD＋∠ACD＝∠OCA＋∠ACD＝90°
即：∠OCD＝90°
∴CD是⊙O的切线.

连接OC,OD 由于O,D分别为中点则OD//BP，则∠DOC=∠OCB ,∠OBC=∠AOD，
又OB=OC ∠OCB=∠OBC 所以∠AOD=∠COD
又 OA=OC OD为公共边
由边角边知三角形AOD全等于三角形COD
所以 ∠OAD=∠OCD
AP是圆O的切线得 ∠OAD=90°
所以∠OCD＝90°

OB=OC
∠OBC=∠OCB
连接OD，OD是△ABP的中位线
OD‖BP
∠OCB=∠COD(内错角）
∠B=AOD(同位角）
所以∠COD=∠AOD
OC=OA
共有边OD
△COD≌△AOD
∠OCD=∠OAD=90°

连接OC，AC （1）
因为OB=OC，所以∠B=∠OCB
因为AB是直径，所以∠ACB=90°，从而∠ACP=90°
因为CP是直角三角形ACP斜边的中线，所以AD=DP=CP
所以∠P=∠DCP （2）
由∠B+∠P=90°可得∠OCB+∠DCP=90°
所以∠OCD=180°...

全部展开

连接OC，AC （1）
因为OB=OC，所以∠B=∠OCB
因为AB是直径，所以∠ACB=90°，从而∠ACP=90°
因为CP是直角三角形ACP斜边的中线，所以AD=DP=CP
所以∠P=∠DCP （2）
由∠B+∠P=90°可得∠OCB+∠DCP=90°
所以∠OCD=180°-∠OCB-∠DCP=90°
所以OC⊥CD
所以直线CD是圆O的切线

收起

连接OD、OC
则OD//BP
角AOD=角ABP，角BCO=角COD
又因为OB=OC
所以角ABP=角BCO
所以角AOD=角COD
又因为OA=OC
所以三角形OAD全等于三角形OCD
所以角OCD=角OAD=90度
即证，CD是圆O的切线

连AC，OC，OD。AB为直径，所以∠ACB=∠ACP=90°，且D为AP中点，所以AD=CD。三角形OCD和三角形OAD中，AD=CD，OA=OC，OD=OD，所以三角形OCD和三角形OAD全等，所以∠OCD=∠OAD=90°。

AB是圆O的直径,AP是圆O的切线,A是切点 BP与圆O交于点C D为AP的中点 求直线CD是圆O的切线 （即证明∠OCD＝90°）

AB是圆O的直径,AP是圆O的切线,A是切点 BP与圆O交于点C D为AP的中点求直线CD是圆O的切线（即证明∠OCD＝90°）