作业帮已知AB是圆o的直径,AP是圆o的切线,A是切点,BP与圆o交于点C,若D为AP的中点,求证:直线CD是圆o的切线.如何证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 01:19:31
已知AB是圆o的直径,AP是圆o的切线,A是切点,BP与圆o交于点C,若D为AP的中点,求证:直线CD是圆o的切线.如何证明
已知AB是圆o的直径,AP是圆o的切线,A是切点,BP与圆o交于点C,若D为AP的中点,求证:直线CD是圆o的切线.
如何证明
已知AB是圆o的直径,AP是圆o的切线,A是切点,BP与圆o交于点C,若D为AP的中点,求证:直线CD是圆o的切线.如何证明
联结OD、OC,因D是AP的中点,O是圆心,所以OD是三角形APB的中位线,因此角ADO与角P相等,角PCDD等于角CDO,角OCB等于角DOC,角PCD加角DCA等于90°,所以角ODC加角DCO等于90°,所以AC与OD垂直,证毕.
如下图，连接OC、AC． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA=90°，∠ACP=90°． 在Rt△APC中，D为AP的中点， ∴∠DAC=∠DCA． ∵OC=OA， ∴∠OAC=∠OCA． ∵∠OAC+∠DAC=∠PAB=90°， ∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°． ∴OC⊥CD． ∴直线CD是⊙O的切线．
如下图，连接OC、AC． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA=90°，∠ACP=90°． 在Rt△APC中，D为AP的中点， ∴∠DAC=∠DCA． ∵OC=OA， ∴∠OAC=∠OCA． ∵∠OAC+∠DAC=∠PAB=90°， ∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°． ∴OC⊥CD． ∴直线CD是⊙O的切线．
连接OC、AC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，∠ACP=90°．
在Rt△APC中，D为AP的中点，
∴∠DAC=∠DCA．
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA．
∵∠OAC+∠DAC=∠PAB=90°，
∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°．
∴OC⊥CD．
∴直线CD是⊙O的切线．
如下图，连接OC、AC． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA=90°，∠ACP=90°． 在Rt△APC中，D为AP的中点， ∴∠DAC=∠DCA． ∵OC=OA， ∴∠OAC=∠OCA． ∵∠OAC+∠DAC=∠PAB=90°， ∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°． ∴OC⊥CD． ∴直线CD是⊙O的切线．
证明：连接OC、AC
由AB是⊙O的直径推出AC⊥PB，得直角三角形ACP
又由D为AP的中点可知CD=AD=PD
∵OA=OC ∴∠1=∠2
∵CD=AD ∴∠3=∠4
又∵AB是⊙O的直径，AP是切线
∴∠1+∠3=90°
∴∠2+∠4=90°
[评]（Ⅱ）当然，此题证法不唯一，第二问也可以连接...
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证明：连接OC、AC
由AB是⊙O的直径推出AC⊥PB，得直角三角形ACP
又由D为AP的中点可知CD=AD=PD
∵OA=OC ∴∠1=∠2
∵CD=AD ∴∠3=∠4
又∵AB是⊙O的直径，AP是切线
∴∠1+∠3=90°
∴∠2+∠4=90°
[评]（Ⅱ）当然，此题证法不唯一，第二问也可以连接OC、AC，利用全等证明。无论何种方法证明，最终都要去“证垂直”。
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