作业帮已知数列An的前n项和为Sn,且An+2Sn=4N(N∈N+).1) 求数列An的通项公式 2已知数列An的前n项和为Sn,且An+2Sn=4N(N∈N+).1) 求数列An的通项公式2) 若Bn=NAn,求数列Bn的前n项和Tn.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 12:20:54
已知数列An的前n项和为Sn,且An+2Sn=4N(N∈N+).1) 求数列An的通项公式 2已知数列An的前n项和为Sn,且An+2Sn=4N(N∈N+).1) 求数列An的通项公式2) 若Bn=NAn,求数列Bn的前n项和Tn.
已知数列An的前n项和为Sn,且An+2Sn=4N(N∈N+).1) 求数列An的通项公式 2
已知数列An的前n项和为Sn,且An+2Sn=4N(N∈N+).
1) 求数列An的通项公式
2) 若Bn=NAn,求数列Bn的前n项和Tn.
已知数列An的前n项和为Sn,且An+2Sn=4N(N∈N+).1) 求数列An的通项公式 2已知数列An的前n项和为Sn,且An+2Sn=4N(N∈N+).1) 求数列An的通项公式2) 若Bn=NAn,求数列Bn的前n项和Tn.
1.
n=1时,a1+2S1=3a1=4×1=4
a1=4/3
n≥2时,an+2Sn=4n
Sn=(-an+4n)/2=-an /2 +2n
an=Sn-S(n-1)=-an /2 +2n +a(n-1) /2 -2(n-1)
3an=a(n-1) +4
3an-6=a(n-1)-2
(an -2)/[a(n-1)-2]=1/3,为定值.
a1 -2=4/3 -2=-2/3,数列{an -2}是以-2/3为首项,1/3为公比的等比数列.
an -2=(-2/3)×(1/3)^(n-1)=(-2)/3ⁿ
an=2- 2/3ⁿ
数列{an}的通项公式为an=2- 2/3ⁿ
2.
bn=nan=n(2- 2/3ⁿ)=2n -2n/3ⁿ
Tn=b1+b2+...+bn=2(1+2+...+n)-2(1/3+2/3^2+3/3^3+...+n/3ⁿ)
令Cn=1/3+2/3^2+3/3^3+...+n/3ⁿ
则Cn /3=1/3^2+2/3^3+...+(n-1)/3ⁿ +n/3^(n+1)
Cn -Cn /3=(2/3)Cn=1/3+1/3^2+...+1/3ⁿ -n/3^(n+1)
=(1/3)[1-(1/3)ⁿ]/(1-1/3) -n/3^(n+1)
=1/2 -(1/2)/3ⁿ -n/3^(n+1)
Cn=3/4 -(2n+3)/(4×3ⁿ)
Tn=2(1+2+...+n) -2Cn
=2n(n+1)/2 -2[3/4 -(2n+3)/(4×3ⁿ)]
=n^2 +n +(2n+3)/(2×3ⁿ) -3/2