作业帮广义积分计算∫（上限正无穷,下限0）xe^（-x）dx/[1+e^(-x)]^2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 18:23:54
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广义积分计算∫（上限正无穷,下限0）xe^（-x）dx/[1+e^(-x)]^2
广义积分计算
∫（上限正无穷,下限0）xe^（-x）dx/[1+e^(-x)]^2
广义积分计算∫（上限正无穷,下限0）xe^（-x）dx/[1+e^(-x)]^2
答案如图.
先用换元法，再用分部积分法，通过一系列计算可得最终结果
令t=e^(-x),则x=-lnt,dx=-dt/t,t∈(0,1)
∫(0,+∞) xe^（-x）dx/[1+e^(-x)]²
=∫(1,0) (-lnt)•t•(-dt/t)/(1+t)²
=∫(1,0) lntdt/(1+t)²
=-∫(0...
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先用换元法，再用分部积分法，通过一系列计算可得最终结果
令t=e^(-x),则x=-lnt,dx=-dt/t,t∈(0,1)
∫(0,+∞) xe^（-x）dx/[1+e^(-x)]²
=∫(1,0) (-lnt)•t•(-dt/t)/(1+t)²
=∫(1,0) lntdt/(1+t)²
=-∫(0,1) lntdt/(1+t)²
=∫(0,1) lntd[1/(1+t)]
此处用分部积分法
=[lnt/(1+t)]|(0,1)-∫(0,1)d(lnt)/(1+t)
=[lnt/(1+t)]|(0,1)-∫(0,1)dt/[t(1+t)]
=[lnt/(1+t)]|(0,1)-∫(0,1)[1/t-1/(1+t)]dt
=[lnt/(1+t)]|(0,1)-[lnt-ln(1+t)]|(0,1)
=[lnt/(1+t)-lnt+ln(1+t)]|(0,1)
=[-t•lnt/(1+t)]|(0,1)+[ln(1+t)]|(0,1)
又∵ lim t•lnt=lim lnt/(1/t)=lim (1/t)/(-1/t²)=lim -t=0
t→0 t→0 t→0 t→0
∴原积分=(0-0)+(ln2-ln1)
=ln2
以上是我的解答，希望对你有所帮助
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