作业帮高一数列这章有关等差数列和等比数列的性质怎样理解和掌握,怎样运用?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 22:10:02
高一数列这章有关等差数列和等比数列的性质怎样理解和掌握,怎样运用?
高一数列这章有关等差数列和等比数列的性质怎样理解和掌握,怎样运用?
高一数列这章有关等差数列和等比数列的性质怎样理解和掌握,怎样运用?
以等差数列为例
1．概念性质,系统掌握.
｛an｝是等差数列 an－an-1＝d（n≥2,n∈N+d为同一常数）.从逻辑的角度看上述命题是一个“且”命题,即：a2－a1 ＝ a3－a2＝…＝an－an-1＝d（n个等号同时成立）,如：1,3,a,b,c是等差数列,则a＝5且b＝7且c＝9；1,3,a,7,c不是等差数列则a≠5或c≠9.此外｛an ｝是等差数列 an＝pn＋q（p、q为常数,n∈N+ 以下脚马同） 2an+1＝an＋an+2 Sn＝An2＋Bn（A、B为常数）；｛an｝,｛bn｝为等差数列 ｛pan＋q bn｝为等差数列（p、q为常数）
通项公式：an＝a1＋（n－1）d以及求和公式：Sn＝（a1＋an）n／2 、Sn＝n a1＋n（n－1）d／2＝dn2／2＋（a1－d/2）n＝A n2＋Bn,不仅要理解公式的内涵、能熟练运用,而且要从公式的推导过程中获取规律性的思维方法.
2．通法通则,烂熟于胸
通项、求和公式中涉及五个量(a1 、d、an、n 、Sn)通过解方程“知三可以求二” ,事实上很多问题通过转化为a1 、d便迎刃而解.a1 、d是等差数列的两个基本量.
例1：在等差数列｛an｝中,ap＝q ,aq＝p ,求 a（p+q）?
依题意得：a1＋（p－1）d＝q d＝－1
a1＋（q－1）d＝p ∴ a1＝p＋q－1 ∴a（p+q）＝0
3．交汇函数,认清本质
（1）an＝f（n）＝pn＋q图象是直线上的离散点集,两条件（如 a5,a10）等差数列即可确定.（2）Sn＝dn2／2＋（a1－d/2）n的图象(d≠0时)是过原点的抛物线上的离散点集,由于过（0,0）,只要给出两个条件（如 S5、,S10）就可确定等差数列.
例2：等差数列｛an｝中,3 a5＝7 a10 且a1＜0,则前n项和Sn最小的是（ （A）S7或S8（B）S13 （C）S12 （D）S15
3（a1＋4d）＝7（an＋9d） ∴d＝（-4 a1）/51＞0
Sn＝（-2 a1）n2/51＋（53 a1n）/51
对称轴＝53/4＝13.25∵|13-13.25| ＜|14-13.25| ∴ S13 最小
4．技巧方法,广泛迁移
优良的思维品质表现为能用最明确最简单的方式,了解和解决问题.首先,减少运算量,掌握下列公式十分有益：
（1）an＝am＋（n－m）d （2）若m＋n＝p＋q 则 an＋am＝ap＋aq
（3）2 am ＝a1＋a2m－1 （4）Sm ,S2m －Sm ,S3m －S2m 成等差数列
例3:｛an｝是等差数列,S11＝33,则a6＝?若a6＝3,则S11＝?
S11＝33 11（a11＋a1）／2 ＝33 a11＋a1＝6 2 a6＝6 a6＝3
此外,还有思想方法的迁移,在公式的推导过程中隐含着下列思维方法：
累差法 倒序相加法 迭代法
a2－a1＝d a3－a2＝d ……+ ）an－an-1＝d an－a1＝（n-1）d Sn＝ a1＋a2＋…＋an-1＋anSn＝ an＋an-1＋…＋a2＋a12 Sn＝n〔（a1＋an）＋…＋ （an＋a1）〕Sn＝ n（a1＋an）／2 an ＝an-1＋d ＝an-2＋2d ＝an-3＋3d …… ＝a1＋（n-1）d
例4：已知数列｛an｝的首项a1＝0,an+1＝an＋（2n+1）求｛an｝的通项公式.
∵a2－a1 ＝2×1＋1＝3,a3－a2 ＝2×2＋1＝5,a4－a3 ＝2×3＋1＝7,… ,an－an-1 ＝2×（n－1）＋1＝2n－1 ∴ an－a1 ＝n2－1 又∵a1 ＝0 ∴an ＝n2－1
此数列虽不是等差数列,但相邻两项的差却是等差数列（奇数列）,类比等差数列求和时使用的累差法便可求出通项公式.