作业帮数学爱好者请进求所有的整数对(x,y),使得1+2^x+2^(2x+1)=y^2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 20:22:36
数学爱好者请进求所有的整数对(x,y),使得1+2^x+2^(2x+1)=y^2
数学爱好者请进
求所有的整数对(x,y),使得1+2^x+2^(2x+1)=y^2
数学爱好者请进求所有的整数对(x,y),使得1+2^x+2^(2x+1)=y^2
首先考虑x=4时,易知y为奇数,而且可设y是正的（因为是y^2)
设y=2t+1(t>0),那么1+2^x+2^(2x+1)=1+4t+4t^2
整理得：2^(x-2)+2^(2x-1)=t+t^2
即：2^(x-2)*[1+2^(x+1)]=t*(t+1) (1)
因为(t,t+1)=1,而且一奇一偶,所以就有两个可能
1).2^(x-2)整除t,并且可知t为2^(x-2)*(2q-1),q为正整数的形式
代入(1)式整理得1+2^(x+1)=(2q-1)*[1+2^(x-2)*(2q-1)]
即：2^x=(2q-1)*(2q-1)*2^(x-3)+q-1
可知2^x>(2q-1)*(2q-1)*2^(x-3),即8>(2q-1)*(2q-1)
只有q=1,此时t=2^(x-2),代入(1)知无解
2).2^(x-2)整除(t+1),设t+1=2^(x-2)*(2q-1),q为正整数
代入(1)得1+2^(x+1)=(2q-1)*[2^(x-2)*(2q-1)-1]
即：2^x=(2q-1)*(2q-1)*2^(x-3)-q
所以：q=2^(x-3)*[4q^2-4q-7]
那么：q>=4q^2-4q-7,而q为正整数,解不等式知q=1,2
把q=1代入(1),知无解
把q=2代入(1),2^x=9*2^(x-3)-2
即：2^(x-3)=2,所以x=4,此时y=23或y=-23
所以本题应该有4个解
(0,2),(0,-2),(4,23),(4,-23)
^ 这个符号什么意思啊?