什么是三垂线定理?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/03 04:31:56
什么是三垂线定理?

什么是三垂线定理?
什么是三垂线定理?

什么是三垂线定理?
三垂线定理就是在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直

定义

  在平面内的一条直线,如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。

逆定理

  三垂线定理的逆定理:如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

证明

      

用线面垂直证明   已知:如图,PO在α上的投影OA垂直于a   求证:OP⊥a   证明:过P做PA垂直于α   ∵PA⊥α   ∴PA⊥a   又a⊥OA   OA∩PA=A   ∴a⊥平面POA   ∴a⊥OP   用向量证明三垂线定理   1.已知:PO,PA分别是平面α的垂线,斜线,OA是PA在α内的射影,b属于α,且b垂直于OA,求证:b垂直于PA   证明:∵PO垂直于α,∴PO垂直于b,又∵OA垂直b,向量PA=(向量PO+向量OA)   ∴向量PA×b=(向量PO+向量OA)×b=(向量PO×b)+(向量OA×b )=O,∴PA⊥b。   2.已知三个平面OAB,OBC,OAC相交于一点O,∠AOB=∠BOC=∠COA=60度,求交线OA与平面OBC所成的角。   ∵向量OA=(向量OB+向量AB),O是内心,又∵AB=BC=CA,∴OA与平面OBC所成的角是30°。

使用

  1,三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射   影),a(直线)之间的垂直关系.   2,a与PO可以相交,也可以异面.   3,三垂线定理的实质是平面的一条斜线和   平面内的一条直线垂直的判定定理.   关于三垂线定理的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线.   至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的.   从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂,   二射,三证.即   第一,找平面(基准面)及平面垂线   第二,找射影线,这时a,b便成平面上的一条直线与   一条斜线.   第三,证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直.   注:   1°定理中四条线均针对同一平面而言   2°应用定理关键是找"基准面"这个参照系