求解一道数列题,n×1+(n-1)×2+(n-2)×3+(n-3)×4+.1×n等于什么.例子,比如n＝3,数列是：3×1+2×2+1×3＝10再比如n＝4,数列是：4×1＋3×2＋2×3＋1×4＝20

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/26 20:33:24

求解一道数列题,n×1+(n-1)×2+(n-2)×3+(n-3)×4+.1×n等于什么.例子,比如n＝3,数列是：3×1+2×2+1×3＝10再比如n＝4,数列是：4×1＋3×2＋2×3＋1×4＝20
求解一道数列题,
n×1+(n-1)×2+(n-2)×3+(n-3)×4+.1×n
等于什么.
例子,比如n＝3,数列是：3×1+2×2+1×3＝10
再比如n＝4,数列是：4×1＋3×2＋2×3＋1×4＝20

求解一道数列题,n×1+(n-1)×2+(n-2)×3+(n-3)×4+.1×n等于什么.例子,比如n＝3,数列是：3×1+2×2+1×3＝10再比如n＝4,数列是：4×1＋3×2＋2×3＋1×4＝20
首先这是个数列求和问题,分析通项公式为：
f(n)=[n-(k-1)]*k=nk-k*(k-1)=nk-k^2+k
原式=n(1+2+3+...+n)-(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n)
=n*n*(n+1)/2-n*(n+1)*(2n+1)/6+n*(n+1)/2
=n*（n+1)/6*(3n-2n-1+3)
=n*(n+1)*(n+2)/6

n不确定无法解答啊，n无穷大，解无穷大

全部展开

1*n+2(n-1)+3(n-2)+…+(n-1)*2+n*1=(1/6)n(n+1)(n+2)
证明:
n=1时，左边=1*1=1
右边=1/6*1*2*3=1
左边=右边，等式成立！
假设n=k时成立 (k>1)即:
1*k+2(k-1)+3(k-2)+…+(k-1)*2+k*1=(1/6)k(k+1)(k+2)
当n=k+1时；
左边
=1*(k+1)+2(k+1-1)+3(k+1-2)+…+(k+1-1)*2+(k+1)*1
=1*k+1*1+2(k-1)+2*1+…+k*1+k+(k+1)
=[1*k+2(k-1)+…+(k-1)*2+k*1]+1+2+3+…+k+(k+1)
=(1/6)k(k+1)(k+2)+1+2+3+…+k+(k+1)
=(1/6)k(k+1)(k+2)+1/2*(k+1)*(k+2)
=(1/6)(k+1)(k+2)(k+3)
=(1/6)(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]
=右边
原式也成立！

收起

n*(n+1)*(n+2)/6

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