作业帮收敛、发散的判断已知级数的通项：an=√{2-√[2+√(2+...√2)]}注意,这是一个根号内有一串串的根号其中√[2+(...+√2)]共n-1层试判断由通项an组成的级数的敛散性
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 08:54:25
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收敛、发散的判断已知级数的通项：an=√{2-√[2+√(2+...√2)]}注意,这是一个根号内有一串串的根号其中√[2+(...+√2)]共n-1层试判断由通项an组成的级数的敛散性
收敛、发散的判断
已知级数的通项：
an=√{2-√[2+√(2+...√2)]}注意,这是一个根号内有一串串的根号
其中√[2+(...+√2)]共n-1层
试判断由通项an组成的级数的敛散性
收敛、发散的判断已知级数的通项：an=√{2-√[2+√(2+...√2)]}注意,这是一个根号内有一串串的根号其中√[2+(...+√2)]共n-1层试判断由通项an组成的级数的敛散性
收敛的
这是比较标准的敛散判定例题
判定方法如下
a1=√2=2cospi/4
a2=√(2-√2)=√(2-2cospi/4)=2sinpi/8
a3=2sinpi/16
an=2sinpi/2^(n+1)
所以,所给级数可化为：
2(sinpi/4+sinpi/8+sinpi/16+...+sinpi/2^(n+1)+...
那个和的符号还有什么上下标的...省了
用达朗贝尔判别法,n→∞求极限
lim[sinpi/2^(n+2)]//[sinpi/2^(n+1)
=lim(1/2)*[pi/2^(n+1)/[sinpi/2^(n+1)]*[sinpi/2^(n+2)]/[pi/2^(n+2)]
=1/2<1
所以,原级数收敛.
网上看上去都头大,按照这个方法在纸上推导一遍,到最后眼睛一亮
Perfect!
通过归纳证明 2>an
n=2, 2>(2)^(1/2)
设 an<2, 证明a(n+1)<2
a(n+1)=(2an)^(1/2)=2^(1/2)*(an)^(1/2)< 2^(1/2)*2^(1/2)<2
2>an
a(n+1)=[2*an]^(1/2)
=2^(1/2)*(an)^(1/2)>(an)^(1/2)*(an)^(1/2)=an
a(n+1)>an, 级数发散.
楼主要考研啊