我要梅涅劳斯定理的逆定理的证明过程

我要梅涅劳斯定理的逆定理的证明过程
我要梅涅劳斯定理的逆定理的证明过程

我要梅涅劳斯定理的逆定理的证明过程
A、《塞瓦定理》：O为△ABC内任一点,AO延交BC于D,
BO延交AC于E,CO延交AB于F,则（AF/BF）•(BD/CD)•(CE/AE)=1,见图4.
证明：在△AOB中,OF分∠AOB,由《分角定理》→
AF/BF=（sin∠AOF/sin∠BOF）•(AO/BO),
同理,在△BOC,△COA中也有.∴
（AF/BF）•(BD/CD)•(CE/AE)= （sin∠AOF/sin∠BOF）•(AO/BO) •（sin∠BOD/sin∠COD）•(BO/CO)
•（sin∠COE/sin∠AOE）•(CO/AO)=1(由对顶角相等).
不添线,只列一式.
梅涅劳斯定理的逆定理也成立:若P Q R三点分别在BC CA AB或其延长线上,且有奇数个点在边的延长线上,三角形ABC也满足BP/PC·CQ/QA·AR/RB=1则P Q R在一直线上. 常用来证明三点共线问题.
注意: 1)"P Q R三点中有奇数个点在边的延长线上"这一条件非常必要,否则梅涅劳斯定理不成立;
2)恰当选择三角形的截线或作出截线,是应用梅涅劳斯定理的关键,其逆定理常用来证明三点共线问题.
B、《梅涅劳斯定理》：△ABC被一直线内分AB于F,内分BC于D,外分AC于E,则（AF/BF）•(BD/CD)•(CE/AE)=1,见图5.
证明：连AD,在△ADB中,DF内分∠ADB,由《分角定理》→
AF/BF=（sin∠ADF/sin∠BDF）•(AD/BD)；在△ACD中,DE外分∠ADC,同理→
CE/AE=（sin∠CDE/sin∠ADE）•(CD/AD).∴
（AF/BF）•(BD/CD)•(CE/AE)= （sin∠ADF/sin∠BDF）•(AD/BD)•(BD/CD)•
（sin∠CDE/sin∠ADE）•(CD/AD)=1.（由对顶角相等,辅角相等）
只添一线,只列一式.
这种不添线（或只添一线）的证明方法,在数学史上属首创.

A、《塞瓦定理》：O为△ABC内任一点，AO延交BC于D，
BO延交AC于E，CO延交AB于F，则（AF/BF）•(BD/CD)•(CE/AE)=1，见图4。
证明：在△AOB中，OF分∠AOB，由《分角定理》→
AF/BF=（sin∠AOF/sin∠BOF）•(AO/BO)，
同理，在△BOC，△COA中也有。∴

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A、《塞瓦定理》：O为△ABC内任一点，AO延交BC于D，
BO延交AC于E，CO延交AB于F，则（AF/BF）•(BD/CD)•(CE/AE)=1，见图4。
证明：在△AOB中，OF分∠AOB，由《分角定理》→
AF/BF=（sin∠AOF/sin∠BOF）•(AO/BO)，
同理，在△BOC，△COA中也有。∴
（AF/BF）•(BD/CD)•(CE/AE)= （sin∠AOF/sin∠BOF）•(AO/BO) •（sin∠BOD/sin∠COD）•(BO/CO)
•（sin∠COE/sin∠AOE）•(CO/AO)=1(由对顶角相等)。
不添线，只列一式。
梅涅劳斯定理的逆定理也成立:若P Q R三点分别在BC CA AB或其延长线上,且有奇数个点在边的延长线上,三角形ABC也满足BP/PC·CQ/QA·AR/RB=1则P Q R在一直线上. 常用来证明三点共线问题.
注意: 1)"P Q R三点中有奇数个点在边的延长线上"这一条件非常必要,否则梅涅劳斯定理不成立;
2)恰当选择三角形的截线或作出截线,是应用梅涅劳斯定理的关键,其逆定理常用来证明三点共线问题.
B、《梅涅劳斯定理》：△ABC被一直线内分AB于F，内分BC于D，外分AC于E，则（AF/BF）•(BD/CD)•(CE/AE)=1，见图5。
证明：连AD，在△ADB中，DF内分∠ADB，由《分角定理》→
AF/BF=（sin∠ADF/sin∠BDF）•(AD/BD)；在△ACD中，DE外分∠ADC，同理→
CE/AE=（sin∠CDE/sin∠ADE）•(CD/AD)。∴
（AF/BF）•(BD/CD)•(CE/AE)= （sin∠ADF/sin∠BDF）•(AD/BD)•(BD/CD)•
（sin∠CDE/sin∠ADE）•(CD/AD)=1。（由对顶角相等，辅角相等）
只添一线，只列一式。
这种不添线（或只添一线）的证明方法，在数学史上属首创。
参考资料：http://bbs.mediano1.com/showbbs.asp?bd=1401&id=157&totable=1&topage=1

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