已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是矩形,AB=1,BC=a,PA=1PA⊥面ABCD

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 08:21:07

已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是矩形,AB=1,BC=a,PA=1PA⊥面ABCD
已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是矩形,AB=1,BC=a,PA=1PA⊥面ABCD

(1)证明：

∵ABCD是矩形

∴AB⊥BC

∵PA⊥面ABCD

∴PA⊥BC

∴BC⊥面PAB

又∵BC∈面PBC

∴面PBC⊥面PAB

(2)

∵(1)已证明BC⊥面PAB

∴PB⊥BC,AB⊥BC,PB∈面PBC,AB∈面BCD

∴∠PBA为二面角P-BC-D

又∵AB=1,PA=1

∴RT△PAB中,∠PBA=45°,即二面角P-BC-D大小为45°

(3)答：

当BC=a≥2时,BC边上存在Q点,使PQ⊥QD.

当a＜2时,则不存在这样的Q点.

证明：

假设存在Q点,使PQ⊥QD,则PQ²+QD²=PD²；

设BQ=x,0≤x≤a；QC=a-x；

PQ²=PA²+AQ²=PA²+AB²+BQ²=x²+2；

QD²=QC²+CD²=(a-x)²+1；

PD²=PA²+AD²=a²+1；

所以有a²+1=x²+2+(a-x)²+1,即x²-ax+1=0；

△=a²-4；

当方程有实数根,且x∈[0,a]时,则假设成立

所以a≥2时,方程存在实数根,x=(a±√△)/2,且x∈[0,a].

显然,取个特殊值,a=2时,x=1,即Q是BC中点,可以很容易验证PQ⊥QD.

望采纳,有疑问欢迎追问,祝学习进步!

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