作业帮三角锥o-ABC,OA、OB、OC两两垂直且相等,点P、Q分别为BC、OA上的动点,且满足1/3BC≤BP≤2/3BC ,1/3OA≤OQ≤2/3OA,则PQ和OB所成角夹角的余弦值的取值范围?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 12:54:24
三角锥o-ABC,OA、OB、OC两两垂直且相等,点P、Q分别为BC、OA上的动点,且满足1/3BC≤BP≤2/3BC ,1/3OA≤OQ≤2/3OA,则PQ和OB所成角夹角的余弦值的取值范围?
三角锥o-ABC,OA、OB、OC两两垂直且相等,
点P、Q分别为BC、OA上的动点,且满足1/3BC≤BP≤2/3BC ,1/3OA≤OQ≤2/3OA,则PQ和OB所成角夹角的余弦值的取值范围?
三角锥o-ABC,OA、OB、OC两两垂直且相等,点P、Q分别为BC、OA上的动点,且满足1/3BC≤BP≤2/3BC ,1/3OA≤OQ≤2/3OA,则PQ和OB所成角夹角的余弦值的取值范围?
∵OA、OB、OC两两垂直且相等
以O为原点,分别OB,OC,OA为x,y,z轴建立坐标系
设OA=OB=OC=3,P(m,n,0) Q(0,0,k)
∵1/3BC≤BP≤2/3BC ,1/3OA≤OQ≤2/3OA,
∴ 1<m<2,1<n<2,m+n=3,1<k<2
向量PQ=（-m,-n,k),向量OB=（3,0,0）
cos<PQ,OB>=-3m/[3√(m²+n²+k²)]
=-m/√(2m²-6m+9+k²)
=-1/√(2-6/m+9/m²+k²/m²)
设1/m=t,t∈(1/2,1)
2-6/m+9/m²+k²/m²
=(9+k²)t²-6t+2
t=3/(9+k²)∈（3/13,3/10)
∴(9+k²)t²-6t+2为关于t的递增函数
是关于k的递增函数
∵k,m独立取值,不相关
∴k=2,t=1时,(9+k²)t²-6t+2=9
k=1,t=1/2时, (9+k²)t²-6t+2=3/2
∴3/2<(9+k²)t²-6t+2<9
∴ √(3/2)<√[(9+k²)t²-6t+2 ]<√3
∴ √3/3<1/√[(9+k²)t²-6t+2 ]<√6/3
∴PQ和OB所成角夹角的余弦值的取值范围
(√3/3,√6/3)