作业帮什么是方程思想
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 13:31:31
什么是方程思想
什么是方程思想
什么是方程思想
方程思想
【定义】在解决数学问题时,有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元,寻找已知与未知之间的等量关系,构造方程或方程组,然后求解方程完成未知向已知的转化,这种解决问题的思想称为方程思想.
【以下请注意】
1.要具有正确列出方程的能力
有些数学问题需要利用方程解决,而正确列出方程是关键,因此要善于根据已知条件,寻找等量关系列方程.
2.要具备用方程思想解题的意识.
有些几何问题表面上看起来与代数问题无关,但是要利用代数方法——列方程来解决,因此要善于挖掘隐含条件,要具有方程的思想意识,还有一些综合问题,需要通过构造方程来解决.在平时的学习,应该不断积累用方程思想解题的方法.
3.要掌握运用方程思想解决问题的要点.
除了几何的计算问题要使用方程或方程思想以外,经常需要用到方程思想的还有一元二次方程根的判别式,根与系数关系,方程,函数,不等式的关系等内容,在解决与这些内容有关的问题时要注意方程思想的应用.
【例题分析】
例1:一商店以每3盘16元钱的价格购进一批录音带,又从另外一处以每4盘21元钱价格购进比前一批数量加倍的录音带,如果以每3盘k元的价格全部出售可得到所投资的20%的收益,求k的值.
分析:可以设商店第一次购进x盘录音带,则第二次购进2x盘录音带.根据题意,列出方程:
答:k的值是19.
小结:上述例题是应用问题,正确列出方程是解题的关键,在学习过程中要不断培养这方面的能力.其中所设的x是辅助元,它在解题过程中是参加变化的量,可以消去,也叫做参变量,并不是最终所求的未知量.从本题可以看出,设辅助元x以后可以方便我们解题.
例2:以AB为直径的圆交BC于D,交AC于F,DE切半圆于D,交AC于E,若AB:BC=5:6,且AF=7,求CE的长.
连结AD,FD.
是直径
例3:已知方程两根为a,b,方程两根为c,d,求的值.
由根系关系得:
例4:已知方程有两个根的积等于2,解这个方程.
分析:若直接求解此方程较困难,可以利用待定系数法,由根与系数的关系可知,两根之积为2的一元二次方程,如果二次项的系数是1,那么常数项是2.
小结:本例是一个解方程的问题,但是在求解过程中仍然体现了方程思想,利用根系关系构造方程,利用待定系数法构造方程组,都是方程思想的应用.
【易错题分析】
例1.已知关于x的方程有两个正整数根,求整数m.
分析:本题关于x的方程有两个正整数根,所以这个方程是一元二次方程,如果用根系关系来解,即,.列出关于m的不等式,再由正整数根的条件求出m的值,方法比较繁.一般来说,解字母系数的一元二次方程,都可以分解因式,这样解法比较简便.
将方程分解因式:
检验:当m=1时,方程为
当m=2时,方程为
点证:本题有的同学解法比较繁,而且容易错,用分解因式的方法较好.另外求出以后,变形为以后,便于讨论m的值.最后,求出m的值以后要注意检验是否符合题意,以免多解或丢解,还可以检验,等.
例2.若关于x的方程,有两个不同的正整数根,求正整数k的值.
分析:本题用因式分解的方法较好,但求出k以后,要注意检验,因为题目要求有两个不同的正整数根,所以.
关于x的方程有两个不同的正整数根
,将方程的左边分解因式:
点评:本题容易错在k=3没有舍.所以一定要注意检验.
例3.已知抛物线在x轴上方,关于x的方程
两个不等实数根是,当m是整数时,求的值.
分析:本题是二次函数和方程的综合题,要用限定m的范围,由已知m是整数确定m的值.然后用根系关系求出的值.
在x轴上方
但方程有两个不等实根是一元二次方程
点评:本题容易错的地方是求出以后,没有舍去m=-3,所以一定要检验一元二次方程的二次项系数,使其不为零.
以上三个例题,组成一个题组,小结为一元二次方程要注意验二次项系数,验,并且还要检验是否符合题意,这样才能避免出错.
一.选择题:
1.已知,其内切圆半径为,则三角形三边的长是( )
A.8,7,13 B.8,5,12 C.6,7,14 D.8,7,14
2.已知等腰三角形的一腰与底边的长分别为方程的两根,若这样的三角形只有一个时,a的取值范围是( )
A.a-3
(2)m=0
(3)不存在