作业帮已知椭圆E的焦点在x轴上,长轴为10,离心率为4/5.已知直线4X-5Y+40=0,椭圆E上的点到直线的最大距离是多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 13:16:28
已知椭圆E的焦点在x轴上,长轴为10,离心率为4/5.已知直线4X-5Y+40=0,椭圆E上的点到直线的最大距离是多少?
已知椭圆E的焦点在x轴上,长轴为10,离心率为4/5.已知直线4X-5Y+40=0,椭圆E上的点到直线的最大距离是多少?
已知椭圆E的焦点在x轴上,长轴为10,离心率为4/5.已知直线4X-5Y+40=0,椭圆E上的点到直线的最大距离是多少?
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,则
1)a=5,e=c/a=4/5
c=4
因为a²=b²+c²,则
b=3
所以(x²)/25+(y²)/9=1
2)椭圆下半部分的方程为y=-√(9-9x²/25),所以椭圆上的动点P(x,-√(9-9x²/25)),
P到4x-5y+40=0的距离:
d=(4x+5√(9-9x²/25)+40)/√(4²+5²)
3)要求最大值,考虑下面函数的最大值即可
f(x)=4x+5√(9-9x²/25)=4x+√(225-9x²)
f'(x)=0时,f(x)最大,d也最大
f'(x)=4-18x/√(225-9x²)=0,解得
x=-4(舍去)或x=4
综上,当x=4时d最大,此时,d=65√41/41
2a=10 e=c/a=4/5
c=4,a=5.b=3
x^2/25+y^2/9=1
直线4x-5y+20=0
y=4x/5+4
斜率k=4/5
设y=4x/5+m
9x^2+25y^2-225=0
9x^2+25(4x/5+m)^2-225=0
9x^2+16x^2+40mx+25m^2-225=0
25x^2+...
全部展开
2a=10 e=c/a=4/5
c=4,a=5.b=3
x^2/25+y^2/9=1
直线4x-5y+20=0
y=4x/5+4
斜率k=4/5
设y=4x/5+m
9x^2+25y^2-225=0
9x^2+25(4x/5+m)^2-225=0
9x^2+16x^2+40mx+25m^2-225=0
25x^2+40mx+(25m^2-225)=0
判别式1600m^2-100(25m^2-225)=0
16-25m^2+225=0
25m^2=241
m=-√241/5
4-m=4+√241/5 tana=4/5 cosa^2=1/(1+16/25)=25/41 sina^2=16/41
D=(4-m)cosa=(4+√241/5)*(5/√41)
收起
首先要明确做题思路 想象这条直线斜率不变向椭圆移动 距离最大 当与椭圆右边相切的时候，切点是到该直线最远的点 就转化为求两条直线的距离
设这条切点直线4x-5y+m=0 把它与椭圆方程联立（椭圆方程好求啦 a=5 b=3 ） 得到关于x二元一次方程 令判别式等于0（计算有点麻烦 这个要自己算 锻炼计算能力），解出m ，现在就变成了求两条平行直线距离 就在某条直线上随便取一点 用点到距离坐标...
全部展开
首先要明确做题思路 想象这条直线斜率不变向椭圆移动 距离最大 当与椭圆右边相切的时候，切点是到该直线最远的点 就转化为求两条直线的距离
设这条切点直线4x-5y+m=0 把它与椭圆方程联立（椭圆方程好求啦 a=5 b=3 ） 得到关于x二元一次方程 令判别式等于0（计算有点麻烦 这个要自己算 锻炼计算能力），解出m ，现在就变成了求两条平行直线距离 就在某条直线上随便取一点 用点到距离坐标公式（这个就不用说了吧）求出来就行了
有点麻烦 但是只能这么做了 或者有简单方法求出切点也行
收起