已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R)为奇函数,在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x-2.（1）求函数f(x)的表达式.（2）求曲线在点M（x1,f（x1））处的切线方程,并求曲线在M（x1,f（x1））处的切线y=f(x)与曲

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 01:57:33

已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R)为奇函数,在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x-2.（1）求函数f(x)的表达式.（2）求曲线在点M（x1,f（x1））处的切线方程,并求曲线在M（x1,f（x1））处的切线y=f(x)与曲
已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx(a,b,c∈R)为奇函数,在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x-2.
（1）求函数f(x)的表达式.
（2）求曲线在点M（x1,f（x1））处的切线方程,并求曲线在M（x1,f（x1））处的切线y=f(x)与曲线围成封闭图形的面积.
（3）如果过点（2,t）可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数x的取值范围.
【解】
（1）
f(x)=ax^3+bx^2+cx,f(-x)=a(-x)^3+b(-x)^2+c(-x),
因为f(x)是R上奇函数,所以f(-x)=-f(x),
即 a(-x)^3+b(-x)^2+c(-x)=-(ax^3+bx^2+cx),
所以b=0,
f(x)=ax^3+cx,f(1)=a+c,f′(x)=3ax^2+c,
由f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x-2,就是
y-f(1)=2(x-1),
所以
f(1)=a+c=0,
f′(1)=3a+c=2
所以,a=1,c=-1,
所以f(x)=x^3-x,f′(x)=3x^2-1.
（2）
所以M(x1,(x1)^3-x1),
过M的切线方程为y-[(x1)^3-x1]=3[(x1)^2-1](x-x1),
即y=[(3x1)^2-1]x-2(x1)^3,
由y=[(3x1)^2-1]x-2(x1)^3和y=(x1)^3-x1
得x^3-3[(x1)^2]x+2(x1)^3=0①和y=(x1)^3-x1②
因为x=x1肯定是①的解,所以
0= x^3-3[(x1)^2]x+2(x1)^3
=[x^3-(x1)x^2]+[(x1)x^2-x(x1)^2]-[2x(x1)^2-2(x1)^3
=(x-x1)[x^2+(x1)x-2(x1)^2]
=(x-x1)^2(x+2x1)
所以x=x1,y=(x1)^3-x1
或x=-2x1,y=-8(x1)^3+2x1,
即过M(x1,(x1)^3-x1)的切线与曲线的另一个交点为(-2x1,-8(x1)^3+2x1)
由于奇函数的图像关于原点对称,我们不妨设x1>0,
将x=0代入曲线方程,有f(0)=0,
将x=0代入切线方程,有y=-2x1