设f(x)=l lgx l,a b 满足f(a)=f(b)=2 f [(a+b)/2],且0<a<b,求证:3<b<2+根号2

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/27 16:38:17
设f(x)=l lgx l,a b 满足f(a)=f(b)=2 f [(a+b)/2],且0<a<b,求证:3<b<2+根号2

设f(x)=l lgx l,a b 满足f(a)=f(b)=2 f [(a+b)/2],且0<a<b,求证:3<b<2+根号2
设f(x)=l lgx l,a b 满足f(a)=f(b)=2 f [(a+b)/2],且0<a<b,求证:3<b<2+根号2

设f(x)=l lgx l,a b 满足f(a)=f(b)=2 f [(a+b)/2],且0<a<b,求证:3<b<2+根号2
f(a)=f(b)=2f[(a+b)/2]
ab=1,a=(a+b)^2/4或a=4/(a+b)^2 (互为相反数的两个数取对数互为倒数 绝对值相等)
若a=(a+b)^2/4
则a^2+b^2+2=4a>2ab+2=4(均值不等式),a>1但ab=1
所以b=1/a<1,故b只能是a=4/(a+b)^2
即a^2+b^2+2=4bb^2-4b+3>0
所以b>3
b^2-4b+a^2-2=0
解得b=2+(2+a^2)^(1/2)<2+根号2,b=2-(2+a^2)^(1/2)<2舍去
综上有3

f(a)=f(b)
|lga|=|lgb| 0<a<b
lga<0 lgb>0
-lga=lgb
lga+lgb=0 lgab=0
ab=1 a,b互为倒数 a+b>1
f(b)=2 f [(a+b)/2],
lgb=2lg(a+b)/2
b=(a+b)^2/4
4b=1/b^2+2+b^2
3<b<2+根号2