作业帮高阶导数1要求写出过程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 03:01:06
高阶导数1要求写出过程
高阶导数1
要求写出过程
高阶导数1要求写出过程
解一：
由φ(x)有n-1阶连续导数,f(x)在 x=a 点 n 阶导数存在,
则由莱布尼兹公式知：
f(k)(a) = 0 ( 1≤k≤n-1 ）
根据带Peano型余项的Taylor公式：
(x-a)^n φ(x) = f(x)
= f(a)+f'(a)(x-a)+...+f(n)(a)/n!(x-a)^n + o(x-a)^n
= f(n)(a)/n!(x-a)^n + α(x)(x-a)^n
其中：lim(x->a) α(x) = 0
∴ α(x) = n!φ(x) - f(n)(a)
0 = lim(x->a) α(x) =lim(x->a)[ n!φ(x) - f(n)(a)] = n!φ(a) - f(n)(a)
∴ f(n)(a) = n!φ(a)
解二（此直接解法依赖于 φ(n)(a)存在）：
由莱布尼兹公式：
(uv)(n) = ∑[k=0,n] C[n,k] u(k) v(n-k)
[f(a)](n) = [(x-a)^n φ(x)(n-k) ](n) |x=a
=∑[k=0,n] C[n,k] [(x-a)^n](k) φ(x)(n-k) ] |x=a
=∑[k=0,n] C[n,k] [n(n-1)...(n-k+1)(x-a)^(n-k) φ(x)(n-k) ] |x=a
=∑[k=0,n-1] C[n,k] [n(n-1)...(n-k+1)(x-a)^(n-k) φ(x)(n-k) ] |x=a
+ C[n,n] n!(x-a)^(n-n) φ(x) ] |x=a
= n!φ(x) ] |x=a
= n!φ(a)