作业帮高一数学,求最值问题x+y+z=1,x,y,z属于R+求√（2x+1）+√（2y+1）+√（2z+1）的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 04:27:28
高一数学,求最值问题x+y+z=1,x,y,z属于R+求√（2x+1）+√（2y+1）+√（2z+1）的最大值
高一数学,求最值问题
x+y+z=1,x,y,z属于R+求√（2x+1）+√（2y+1）+√（2z+1）的最大值
高一数学,求最值问题x+y+z=1,x,y,z属于R+求√（2x+1）+√（2y+1）+√（2z+1）的最大值
此题用柯西不等式比较容易,不过你这里说是高一题目,本人认为高一无需掌握这种题,到了高三就行了,下面我用柯西不等式求解.柯西不等式,参考这里：
由x+y+z=1,得2x+2y+2z=2,所以(2x+1)+(2y+1)+(2z+1)=5,（这一步为了构造柯西不等式）
由柯西不等式,得
[(2x+1)+(2y+1)+(2z+1)](1²+1²+1²)≥[√(2x+1)·1+√(2y+1)·1+√(2z+1)·1]²
所以,[√(2x+1)+√(2y+1)+√(2z+1)]²≤15,所以√(2x+1)+√(2y+1)+√(2z+1)≤√15
仅当(2x+1)/1=(2y+1)/1=(2z+1)/1,时,等号成立,结合x+y+z=1,可求出当x=y=z=1/3时,等号成立,所以最大值是√15
(√（2x+1）+√（2y+1）+√（2z+1）)^2
=3+2(x+y+z)+2√(2x+1)√(2y+1)+2√(2x+1)√(2z+1)+2√(2z+1)√(2y+1)
≦5+(2x+1)+(2y+1)+(2x+1)+(2z+1)+(2z+1)+(2y+1)=15,
当x=y=z=1/3时取等。
所以 √（2x+1）+√（2y+1）+√（2z+1）最大值为√15
X=Y=Z=1/3时取得最大值3根号3，
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