加菲尔德证明勾股定理

加菲尔德证明勾股定理
加菲尔德证明勾股定理

加菲尔德证明勾股定理
勾股定律
传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明.据说毕达哥拉斯证明了这个定理后,即斩了百头牛作庆祝,因此又称“百牛定理”.
《周髀算经》算经十书之一.约成书于公元前二世纪,原名《周髀》,它是我国最古老的天文学著作,主要阐明当时的盖天说和四分历法.唐初规定它为国子监明算科的教材之一,故改名《周髀算经》.《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用.原书没有对勾股定理进行证明,其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的. 《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法.对于勾股定理,记曰：“数之法,出于圆方,方出于矩,距出于九九八十一,故折矩,以为勾三,股四,弦五.直角三角形之间的关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方,(a*a)+(b*b)=(c*c)”
三角形为直角三角形,以勾a为边的正方形为朱方,以股b为边的正方形为青方.以盈补虚,将朱方、青放并成玹方.依其面积关系有a^+b^=c^.由于朱方、青方各有一部分在玄方内,那一部分就不动了.
以勾为边的的正方形为朱方,以股为边的正方形为青方.以赢补虚,只要把图中朱方（a2）的I移至I′,青方的II移至II′,III移至III′,则刚好拼好一个以弦为边长的正方形（c2 ）．由此便可证得a2+b2=c2
1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使,加菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是加菲尔德便问他们在干什么?那个小男孩头也不抬地说：“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”加菲尔德答道：“是5呀.”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生,你能说出其中的道理吗?”加菲尔德一时语塞,无法解释了,心里很不是滋味.,加菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他出的难题.他经过反复思考与演算,终于弄清了其中的道理,并给出了简洁的证明方法.
如下:
在网格内,以两个直角边为边长的小正方形面积和,等于以斜边为边长的的正方形面积.
勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,
a^2;+b^2;=c^2;
赵爽（Zhao Shuang, 3世纪初）
中国数学家.东汉末至三国时代人.生平不详,约生活于公元3世纪初.字君卿,东吴人.据载,他研究过张衡的天文学著作《灵宪》和刘洪的《乾象历》,也提到过“算术”.他的主要贡献是约在222年深入研究了《周牌算经》,为该书写了序言,并作了详细注释.其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献.它记述了勾股定理的理论证明,将勾股定理表述为：“勾股各自乘,并之,为弦实.开方除之,即弦.”证明方法叙述为：“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之差自相乘为中黄实,加差实,亦成弦实.”即2ab+(b-a)^2=c^2,化简便得a^2＋b^2＝c^2.其基本思想是图形经过割补后,面积不变.刘徽在注释《九章算术》时更明确地概括为出入相补原理,这是后世演段术的基础.赵爽在注文中证明了勾股形三边及其和、差关系的24个命题.例如 √(2(c-a)(c-b)) + (c-b) = a, √(2(c-a)(c-b)) + (c-a) = b, √(2(c-a)(c-b)) + (c-a) + (c-b) = c等等.他还研究了二次方程问题,得出与韦达定理类似的结果,并得到二次方程求根公式之一.此外,使用“齐同术”,在乘除时应用了这一方法,还在‘旧高图论”中给出重差术的证明.赵爽的数学思想和方法对中国古代数学体系的形成和发展有一定影响.
赵爽又名婴,字君卿.三国时吴国人,一说魏晋人,或汉人.籍贯、生卒年
不详.数学、天文学家.
赵爽自称负薪余日,研究《周髀》,遂为之作注,可见是一个未脱离体力劳动的天算学家.一般认为,《周髀算经》成书于公元前100年前后,是一部引用
分数运算及勾股定理等数学方法阐述盖天说的天文学著作.而大约同时成书的《九章算术》则明确提出了勾股定理以及某些解勾股形问题.赵爽《周髀算经注》
逐段解释《周髀》经文.
而最为精彩的是附录于首章的勾股圆方图,短短500余字,概括了《周髀算经》、《九章算术》以来中国人关于勾股算术的成就,其中包含了：
勾股定理(这里以a,b,c分别代表直角三角形的勾、股、弦三边之长)a^2+b^2=C^2
及其变形b^2=c^2-a^2=(c-a)(c+a),a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b),c^2=2ab+(b-a)^2；
有通过开带从平方
a^2+(b-a)a=1/2[c^2-(b-a)^2]求勾a
开平方a=[c^2-(c^2-a^2)]^1/2求勾a
开带从平方(c-a)^2+2a(c-a)=c^2-a^2求勾弦差c-a的方法,以及：
c=(c-a)+a,c+a=b^2/(c-1), c-a=b^2/(c+a), c=[(c=a)^2+b^2]/2(c+a), a=[(c+a)^2-b^2]/2(c+a)等公式,与上述公式对称,也有求b, c-b, c+b及由c-b, c+b求c, b的公式,又有由勾弦差、股弦差求勾、股、弦的公式：
a=[2(c-a)(c-b)]^1/2 + (c-b), b=[2(c-a)(c-b)]^1/2 + (c-a),c=[(2(c-a)(c-b)]^1/2 + (c-b) + (c-a)
以及勾股差b—a与勾股并b＋a的关系式
a＋b)^2=2c^2—(b-a)^2,a+b=[2c^2-(b-a)^2]^1/2, b-a=[2c^2-(b+a)^2]^1/2,
进而由此给出了求a,b的公式b=1/2[(a+b)+(b-a)], a=1/2[(a+b)-(b-a)],最后给出了由弦与勾（或股）表示的股(或勾)弦并与股(或勾)弦差之差：
(c+b)-(c-b)=[(2c)^2-4a^2]^1/2
(c+a)-(c-a)=[(2c)^2-4b^2]^1/2
赵爽用出入相补方法对上述公式作了证明.这些公式大都与《九章算术》及其刘徽注所阐述的相同,证明方法也类似,只是最后两个公式为刘徽注所没有,
所用术语也与刘徽稍异.可见,这些知识是汉魏时期数学家们的共识.《畴人传》说勾股圆方图注“五百余言耳,而后人数千言所不能详者,皆包蕴无遗,精深简括,诚算氏之最也”.
文献
原始文献
[1](吴)赵爽注：周髀算经,见钱宝琮校点《算经十书》上册,中华书局,
1963.
研究文献
[2]钱宝琮主编：中国数学史,科学出版社,1964.
[3]钱宝琮：周髀算经考,见《钱宝琮科学史论文选集》,科学出版社,
1983.
[4](清)阮元主编：畴人传,商务印书馆重印本,1955.
（科学出版社《中国古代科学家传记》）
赵爽,三国时期东吴的数学家.曾注《周髀算经》,他所作的《周髀算经注》中有一篇《勾股圆方图注》全文五百余字,并附有云幅插图（已失传）,这篇注文简练地总结了东汉时期勾股算术的重要成果,最早给出并证明了有关勾股弦三边及其和、差关系的二十多个命题,他的证明主要是依据几何图形面积的换算关系.
赵爽还在《勾股圆方图注》中推导出二次方程和求根公式 在《日高图注》中利用几何图形面积关系,给出了重差术的证明.（汉代天文学家测量太阳高、远的方法称为重差术）.
参考资料： http://baike.baidu.com/view/411536.htm

fuck

美国第20任总统茄菲尔德的证法

这个直角梯形是由2个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形和1个直角边为c

的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式c^2+2*1/2ab=(a+b)(b+a)/2，化简得。a^2+b^2=c^2

这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式...

全部展开

美国第20任总统茄菲尔德的证法

这个直角梯形是由2个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形和1个直角边为c

的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式c^2+2*1/2ab=(a+b)(b+a)/2，化简得。a^2+b^2=c^2

这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话


收起

大梯形面积等于3个三角形面积之和