工程数学线性代数同济第五版 P10性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.的证明过程有一点很不懂. 设行列式 是由行列式D=det(aij)对换i,j两行得到的,即当 k≠i,j时,bkp=akp;当k=i,j时,bip=ajp,bjp

工程数学线性代数同济第五版 P10性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.的证明过程有一点很不懂. 设行列式 是由行列式D=det(aij)对换i,j两行得到的,即当 k≠i,j时,bkp=akp;当k=i,j时,bip=ajp,bjp
工程数学线性代数同济第五版 P10性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.的证明过程有一点很不懂.
 
 设行列式
 

 
是由行列式D=det(aij)对换i,j两行得到的,即当
 
k≠i,j时,bkp=akp;当k=i,j时,bip=ajp,bjp=aip,于是
 
          D1=  ∑(-1)tb1p1…bipi…bjpj…bnpn
 
            =  ∑(-1)taip1…ajpi…aipj…anpn
 
            =  ∑(-1)ta1p1…aipj…ajpi…anpn
 
其中1…i…j…n为自然排列,t为排列p1…pi…p
j
…pn的逆序数.设排列p1…pj…pi…pn的逆序数为
 
t1,则(-1)t=-(-1)t1,故
 
     Dj=  -∑(-1)t1a1p1…aipj…ajpi…anpn=
 
-D   证毕
 
上述为书本上完整的证明过程.
 
其他部分都很明白清晰,其中我最不明白的是最
 
后一步,为什么Dj=-D,难道说这意味着D=∑(-1)
 
t1a1p1…aipj…ajpi…anpn吗?可是,D为换行(列)
 
之前的行列式,不是应该
 
D=∑(-1)ta1p1…aipi…ajpj…anpn么?
 
除非我的思路有问题.那么如果我的思路有问题
 
的话,最后一步的等式到底是怎么推导出来
 
的呢?
鄙人数学基础不好,想好好
 
弄懂课本上的知识.
 

工程数学线性代数同济第五版 P10性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.的证明过程有一点很不懂. 设行列式 是由行列式D=det(aij)对换i,j两行得到的,即当 k≠i,j时,bkp=akp;当k=i,j时,bip=ajp,bjp
你跟我以前想的一样,现在我已经明白了,要想搞明白这一步,首先你得非常清楚行列式表达的定义,行列式是n!项的代数和,其中每一项是位于不同行不同列的n个数的乘积再加上符号（－1）的t次幂,关键是t怎么得来的,它是把每个乘积中的项的行标按顺序排好后相应列标的逆序数,所以这里的D可以表示为∑（－1）的t1次幂乘a1p1…aipj…ajpi…anpn,你是觉得列标的顺序pj和pi反了吧,其实这样表示不影响,只要把行表排好后列标任意排就行,因为不管怎么排,总能排成n!项,所以换行后的所得行列式的每一项都能找到原来的对应项的相反数,你如果写出一个简单的行列式,比如四阶,把它的按定义写出几项,然后互换它的二三行,再写出互换后行列式的对应的几项,就能看到逆序奇偶相反了,所以正负相反；其实书上的证明表达的不太容易理解,这也是很多人觉得数学难的原因,你也可以按定义直接思考,互换两行后行列式的每一项的行标按从小到大顺序排好后,其列标必有两个数颠换,这是互换两行造成的,这样每一项逆序数奇偶性必然发生改变,所以它的符号就改变了,而它的值没变,还是原来没交换的行列式的对应项的乘积,希望采纳!如果还不明白可以追问我

举个例子,三阶行列式交换前两行,证明交换前后的行列式互为相反数:
原行列式为:
|A11 A12 A13|
|A21 A22 A23|
|A31 A32 A33|
交换前两行得到新的行列式
|A21 A22 A23|
|A11 A12 A13|
|A31 A32 A33|
N阶行列式定义就是取所有不同行不同列的N个元素相乘外加...

全部展开

举个例子,三阶行列式交换前两行,证明交换前后的行列式互为相反数:
原行列式为:
|A11 A12 A13|
|A21 A22 A23|
|A31 A32 A33|
交换前两行得到新的行列式
|A21 A22 A23|
|A11 A12 A13|
|A31 A32 A33|
N阶行列式定义就是取所有不同行不同列的N个元素相乘外加正负号全部相加的和.
正负号有两种取法:
方法一:-1的A次方,A为所取元素行号按自然顺序(从小到大)排列时,列号的逆序数.
方法二:-1的B次方,B为所取元素列号按自然顺序(从小到大)排列时,行号的逆序数.
其实还有方法三:-1的C次方,C为所取元素行号的逆序数+列号的逆序数.

在此我们用方法一,从第一行到最后一行不同列取元素(保证行号为自然序列)
例如取得元素为 A12 A21 A33,它在交换前列号排列是2,1,3(先不管它的逆序数具体是多少)
但它(因为不管怎么交换行或者列,不在同一行同一列的元素都不可能被换到相同行或者相同列,所以这些元素交换后一定还能取到)在交换后列号排列是1,2,3.
新列号的顺序相当于原列号的顺序交换了两个元素(对应你交换哪两行,在此我们交换12行,所以列号顺序交换12列).
又因为对换改变逆序数(这个证明书上有),所以取的是相同的元素正负号却相反.


不知道我说清楚了没有,说白了就是对换改变逆序数.不懂再问.

收起

我也不懂，D1的第二步和第三步为什么相等？它们的t代表的意义不一样吗？证毕前面的D1=-D我能理解。