如果a>2,证明:log(a-1)a>loga(a+1)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/01 09:05:39
如果a>2,证明:log(a-1)a>loga(a+1)

如果a>2,证明:log(a-1)a>loga(a+1)
如果a>2,证明:log(a-1)a>loga(a+1)

如果a>2,证明:log(a-1)a>loga(a+1)
证:
a>2 a-1>1 a+1>1
loga(a-1)>0 loga(a+1)>0
loga(a-1)

因为
loga(a-1)*loga(a+1)
<[loga(a-1)+loga(a+1)]²/4 (均值不等式)
=[loga(a-1)(a+1)]²/4 (平方差)
<[loga(a²)]²/4
=1
且loga(a-1)*log(a-1)a=1(换底公式)
所以log(a-1)a>loga(a+1)

把两边的式子写成同底相除的形式,再一移相就行了

换底公式, log(a-1)a=lna/ln(a-1) loga(a+1)=ln(a+1)/lna
由对数性质知,a>2时,函数为斜率逐渐减小的增函数,因此,lna/ln(a-1)> ln(a+1)/lna
建议楼主做出函数图象,取 ln(a-1),lna,ln(a+1) ,一目了然