作业帮已知复数z满足|z|=1,则|z+iz+1|的最小值?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 19:46:14
已知复数z满足|z|=1,则|z+iz+1|的最小值?
已知复数z满足|z|=1,则|z+iz+1|的最小值?
已知复数z满足|z|=1,则|z+iz+1|的最小值?
设z=cosx+sinx,|z+iz+1|=根号[1+根号2cos(x+180/4)]2+2sin2(x+180/4)
=根号(3+2根号2cos(x+180/4))>_根号(3-2根号2)=根号2-1
当x=(3/4)180时取得最小值根号2-1
所以|z+iz+1|的最小值为根号2-1
因|z|=1，设z=cosw＋isinw，则：
|z＋zi＋1|=|cosw＋isinw＋icosw－sinw＋1|
=√[(cosw－sinw＋1)²＋(cosw＋sinw)²]
=√[3＋2(cosw－sinw)]
=√[3＋2√2cos(w＋π/4)]
则其最小值是√[3－2√2]=√2－1
|z|=1 ==> z = e^(it)
|z+iz+1|^2 = (e^(it) + ie^(it) + 1)(e^(-it) - ie^(-it) + 1)
= 1 - i + e^(it) + i - i*i + ie^(it) + e^(-it) - ie^(-it) + 1
= 3 + (1+i)e^(it) + (1-i)e^(-it)
= 3 +...
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|z|=1 ==> z = e^(it)
|z+iz+1|^2 = (e^(it) + ie^(it) + 1)(e^(-it) - ie^(-it) + 1)
= 1 - i + e^(it) + i - i*i + ie^(it) + e^(-it) - ie^(-it) + 1
= 3 + (1+i)e^(it) + (1-i)e^(-it)
= 3 + (1+i)(cost + i*sint) + (1-i)(cost - i*sint)
= 3 + cost + i*sint + i*cost - sint + cost - i*sint - i*cost - sint
= 3 + 2(cost - sint)
= 3 + 2^(1/2) * sin(pai/4 - t)
|z+iz+1|^2的最小值 = 3-2^(1/2)
|z+iz+1|的最小值 = (3 - 2^(1/2))^(1/2)
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