作业帮已知A是双曲线 (X平方/a平方 减 y平方/b平方)等于1(a大于0,b大于0)的渐进线与抛物线y平方=2px(p大于0)的交点.F是抛物线的焦点,且AF垂直于X轴,则双曲线的离心率为多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 03:06:09
已知A是双曲线 (X平方/a平方 减 y平方/b平方)等于1(a大于0,b大于0)的渐进线与抛物线y平方=2px(p大于0)的交点.F是抛物线的焦点,且AF垂直于X轴,则双曲线的离心率为多少?
已知A是双曲线 (X平方/a平方 减 y平方/b平方)等于1(a大于0,b大于0)的渐进线与抛物线y平方=2px(p大于0)的交点.F是抛物线的焦点,且AF垂直于X轴,则双曲线的离心率为多少?
已知A是双曲线 (X平方/a平方 减 y平方/b平方)等于1(a大于0,b大于0)的渐进线与抛物线y平方=2px(p大于0)的交点.F是抛物线的焦点,且AF垂直于X轴,则双曲线的离心率为多少?
由抛物线方程可得：抛物线的焦点坐标为(p/2,0)
因为AF垂直于x轴,故可设点A坐标为(p/2,y)
由于点A在抛物线上,则将其坐标代入抛物线方程得：
y²=2p*p/2=p²即：y=±p
所以点A坐标为(p/2,p)或(p/2,-p)
又由双曲线方程x²/a²-y²/b²=1可得其渐近线方程为：
y=±(b/a)x
因为点A在渐近线上,且a>0,b>0,p>0,故可将其坐标代入渐近线方程得：
p=(b/a)*p/2
易得：b=2a
又c²=a²+b²
则：c²=5a²即：c=√5*a
所以：双曲线的离心率e=c/a=√5
设A点为双曲线的渐进线y=(b/a)x与抛物线y平方=2px(p大于0)的交点
∵F(p/2,0),AF⊥X轴
∴A(p/2,bp/2a),A点的纵坐标由A点的横坐标代入双曲线的渐进线y=(b/a)x得到
再把A点的坐标代入抛物线方程y平方=2px有:(bp/2a)^2=2p*p/2
∴(b^2)/4a^2=1 ∴ b^2=4a^2
又∵在双曲线里b^...
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设A点为双曲线的渐进线y=(b/a)x与抛物线y平方=2px(p大于0)的交点
∵F(p/2,0),AF⊥X轴
∴A(p/2,bp/2a),A点的纵坐标由A点的横坐标代入双曲线的渐进线y=(b/a)x得到
再把A点的坐标代入抛物线方程y平方=2px有:(bp/2a)^2=2p*p/2
∴(b^2)/4a^2=1 ∴ b^2=4a^2
又∵在双曲线里b^2=c^2-a^2
∴c^2-a^2=4a^2
∴c^2=5a^2
∴(c/a)^2=5
∴c/a=√5
∴双曲线的离心率为√5
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