作业帮已知a,b,c是正数,求证,a+b+c分之a平方b平方+b平方c平方+c平方a平方大于等于abc
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 09:56:40
已知a,b,c是正数,求证,a+b+c分之a平方b平方+b平方c平方+c平方a平方大于等于abc
已知a,b,c是正数,求证,a+b+c分之a平方b平方+b平方c平方+c平方a平方大于等于abc
已知a,b,c是正数,求证,a+b+c分之a平方b平方+b平方c平方+c平方a平方大于等于abc
a²b²+b²c²>=2√(a²b²*b²c²)=2ab²c
b²c²+c²a²>=2√(b²c²*c²a²)=2bc²a
c²a²+a²b²>=2√(c²a²*a²b²)=2ca²b
相加
2(a²b²+b²c²+c²a²)>=2(ab²c+bc²a+ca²b)=2abc(a+b+c)
两边除以2(a+b+c)
(a²b²+b²c²+c²a²)/(a+b+c)>=abc
b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2/a+b+c≥abc
即b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2≥abc*(a+b+c)
即b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2≥a^2bc+b^2ac+c^2ab
即2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2≥2a^2bc+2b^2ac+2c^2ab
因为b^2c^2+c^2a^2≥2c^2ab,
c^2a^2+a^2b^2≥2a^2bc,
b^2c^2+a^2b^2≥2b^2ac
所以得证
a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2
=(a^2*b^2+b^2*c^2)/2+(b^2*c^2+c^2*a^2)/2+(c^2*a^2+a^2*b^2)/2
>=√(a^2*b^2*b^2*c^2)+√(b^2*c^2*c^2*a^2)+√(c^2*a^2*a^2*b^2)
=abbc+bcca+caab
=(a+b+c)abc
所以(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)/(a+b+c)>=abc