作业帮求证:2^(n+2)*3^n+5n+21能被25整除
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 08:52:21
求证:2^(n+2)*3^n+5n+21能被25整除
求证:2^(n+2)*3^n+5n+21能被25整除
求证:2^(n+2)*3^n+5n+21能被25整除
数学归纳
当n=1时 2^（n+2）*3^n+5n-4=25,能被25整除
当n=k时 假定2^（k+2）*3^k+5k-4能被25整除
n=k+1时 2^(k+3)*3^(k+1)+5(k+1)-4
=6*[2^（k+2）*3^k+5k-4]-25k+25,
其中2^（k+2）*3^k+5k-4能被25整除,-25k+25能被25整除,
所以2^(k+3)*3^(k+1)+5(k+1)-4能被25整除
综上所述,2^（n+2）*3^n+5n-4能被25整除
[2^(n+2)]×(3^n)+5n+21 ={[2^(n+2)]×(3^n)+21}+5n ={4×2^n)×(3^n)+21}＋5n =4(6^n-1)＋5n +25
二项式定理
（a+b）^n=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1)b^1+...+Cn(n-1)a^1b^(n-1)+Cnna^0b^n Cn0表示从n个物体选0个物体的组合方法数，排列组合你应该学过吧，那对...
全部展开
[2^(n+2)]×(3^n)+5n+21 ={[2^(n+2)]×(3^n)+21}+5n ={4×2^n)×(3^n)+21}＋5n =4(6^n-1)＋5n +25
二项式定理
（a+b）^n=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1)b^1+...+Cn(n-1)a^1b^(n-1)+Cnna^0b^n Cn0表示从n个物体选0个物体的组合方法数，排列组合你应该学过吧，那对C就比较了解。 Cnm=n!/m!(n-m)!
然后用同余法
4*6^n=4*(5+1)^n+5n=4*(Cn05^n*1^0+Cn15^(n-1)*1^1+...+Cn(n-1)5^1*1^(n-1)+Cnn5^0*1^n )，5^2项以上都可以被25整除，然后处理剩余项目，4[Cnn5^0*1^n+Cn(n-1)5^1*1^(n-1)]+5n-4而Cnn=1,Cn(n-1)=n,代入[Cnn5^0*1^n+Cn(n-1)5^1*1^(n-1)]+5n-4=5n+4*5*n=25n也能被25整除，两部分都能被25整除，所以2^（n+2）*3^n+5n-4能被25整除
方法II：数学归纳
1.当n=1时 2^（n+2）*3^n+5n-4=25,能被25整除
2.当n=k时 假定2^（k+2）*3^k+5k-4能被25整除
3.当n=k+1时 2^(k+3)*3^(k+1)+5(k+1)-4=6*[2^（k+2）*3^k+5k-4]-25k+25,其中2^（k+2）*3^k+5k-4能被25整除，-25k+25能被25整除，所以2^(k+3)*3^(k+1)+5(k+1)-4能被25整除
综上所述，2^（n+2）*3^n+5n-4能被25整除
2^(n+2)*3^n+5n+21和2^（n+2）*3^n+5n-4一样
收起
用 a≡b (mod 25) 表示 a、b 被25除的余数相同（也就是 a-b 能被25整除）。
2^(n+2)*3^n+5n+21
=4*2^n*3^n+5n+25-4
=4*(6^n-1)+5n+25
=4*[(5+1)^n-1]+5n+25
由二项式定理，
上式=4*[∑(k=0，n) C(n,k)*5^n-1]+5n+25
≡4*(5n+1-1)+5n
≡25n
≡0(mod 25)，
命题得证。