作业帮过椭圆X^2/4+Y^2=1的左焦点的两条垂直直线与椭圆交于ABCD四点,求四边形ABCD最小面积
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 14:13:48
过椭圆X^2/4+Y^2=1的左焦点的两条垂直直线与椭圆交于ABCD四点,求四边形ABCD最小面积
过椭圆X^2/4+Y^2=1的左焦点的两条垂直直线与椭圆交于ABCD四点,求四边形ABCD最小面积
过椭圆X^2/4+Y^2=1的左焦点的两条垂直直线与椭圆交于ABCD四点,求四边形ABCD最小面积
易知椭圆焦点在x轴上,a=2,b=1,c=√3
显然四边形ABCD的对角线相互垂直
则S(ABCD)=1/2|AB|*|CD|
当过左焦点的一条直线AB垂直于x轴时
则另一条直线CD就在x轴上,且|CD|=2a=4
易知过左焦点且垂直于x轴的直线AB为x=-√3
代入椭圆方程解得y=±1/2
于是|AB|=1
所以S(ABCD)=4
当过左焦点的一条直线AB不垂直于x轴时
则另一条直线CD也不垂直于x轴
表明两条直线的斜率都存在
令直线AB的斜率为k,直线CD的斜率即为-1/k
则AB：y=k(x+√3),CD：y=(-1/k)(x+√3)
令A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)
则联立直线AB与椭圆方程得(1+4k^2)x^2+8√3k^2x+12k^2-4=0
由韦达定理有x1+x2=-8√3k^2/(1+4k^2),x1x2=4(3k^2-1)/(1+4k^2)
由弦长公式有|AB|=|x1-x2|*√(1+k^2)=√[(x1+x2)^2-4x1x2]*√(1+k^2)=4(1+k^2)/(1+4k^2)
同理可得到|CD|=4(1+k^2)/(4+k^2)
所以S(ABCD)=8(1+k^2)^2/[(4+k^2)(1+4k^2)]
因 (4+k^2)(1+4k^2)≤[(4+k^2)+(1+4k^2)]^2/4（基本不等式）
即(4+k^2)(1+4k^2)≤25/4(1+k^2)^2
则S(ABCD)≥8(1+k^2)^2/[25/4(1+k^2)^2]
即S(ABCD)≥32/25
此时4+k^2=1+4k^2,即k=±1
显然32/25
如图：
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