作业帮求出所有正整数a、b,使方程x2-abx+a+b=0的根都是整数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 15:33:14
求出所有正整数a、b,使方程x2-abx+a+b=0的根都是整数
求出所有正整数a、b,使方程x2-abx+a+b=0的根都是整数
求出所有正整数a、b,使方程x2-abx+a+b=0的根都是整数
令方程解为x1和x2,根据韦达定理有：
(ab)^2 - 4(a+b) >= 0
x1 + x2 = ab
x1 * x2 = a+b
由于a,b是正整数,所以有
x1 + x2 >0
x1 * x2 >0
于是有
x1 > 0 ； x2 > 0,即x1,x2都是正整数
下面分三种情况具体分析：
1）x1,x2中至少有一个是1 ,那么显然有(x1+x2) - x1 * x2 = 1
即 ab - (a+b) = 1
(a-1) * (b- 1) = 2
a,b是正整数,所以(a-2)和(b-2)也是整数且要大于-2,而2的整数因子有：
2 = 1*2 = 2*1 = -1 * -2 = -2 * -1
a和b的值为（2,3）,（3,2）
此时,方程的解为1和5
2）x1 = x2 =2,那么有x1 + x2 = x1 * x2,即
ab = a + b = 4
a = b = 2
此时方程的解为2（二重根）
3）除上述两种情况外,有x1 + x2 < x1 * x2,即
ab < a+b
(a-1) * (b-1) < 1
又因为 a-1 >= 0,b-1 >= 0
所以（a-1）*（b-1）> =0
所以（a-1）*（b-1）= 0
a = 1或 b = 1,不妨令a =1
带回方程,有
x1 + x2 = b
x1 * x2 = 1+b
由于 b>0,所以x1>0,x2>0,(x1-1)>=0,(x2 -1)>=0
x1 * x2 - (x1 + x2) = 1
(x1-1)*(x2 -1) = 2
因此(x1 -1) = 1或2,(x2 -1) = 2或1
易解得：(x1,x2),(2,3)或(3,2)
再返回去求得(a,b) = (1,5)或(5,1)
综上,a,b的取值有(2,3),(3,2),(2,2),(1,5),(5,1)