高一上学期关于函数的数学题：定义在R上的函数f（x）,对任意的函数,x,y∈R,有f（x+y）+f（x-y)=2f(x)f(y) ,且f（0）≠0,.(1) 求证:f（0）=1 (2)求证：f（x）是偶函数.（要求：解题思路清晰）

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/11 00:54:39

高一上学期关于函数的数学题：定义在R上的函数f（x）,对任意的函数,x,y∈R,有f（x+y）+f（x-y)=2f(x)f(y) ,且f（0）≠0,.(1) 求证:f（0）=1 (2)求证：f（x）是偶函数.（要求：解题思路清晰）
高一上学期关于函数的数学题：
定义在R上的函数f（x）,对任意的函数,x,y∈R,有f（x+y）+f（x-y)=2f(x)f(y) ,且f（0）≠0,.(1) 求证:f（0）=1 (2)求证：f（x）是偶函数.（要求：解题思路清晰）

高一上学期关于函数的数学题：定义在R上的函数f（x）,对任意的函数,x,y∈R,有f（x+y）+f（x-y)=2f(x)f(y) ,且f（0）≠0,.(1) 求证:f（0）=1 (2)求证：f（x）是偶函数.（要求：解题思路清晰）
1.证令 x=y=0 得 2f(0) = 2f(0)^2 因为 f(x) ≠ 0 故 f(x) = 1
2.解令y=0 得 f(x)=f[(x+y)/2 + (x-y)/2]
=2f[(x+y)/2]f[(x-y)/2] - f[(x+y)/2 - (x-y)/2]
=2f[(x+y)/2]f[(x-y)/2] - f(y)
f(-x) = f[(y-x)/2 - (y+x)/2]
= 2f[(y-x)/2]f[(y+x)/2] - f([(y-x)/2 + (y+x)/2)
= 2f[(y-x)/2]f[(y+x)/2] - f(y)
f(x)=f(-x)
故函数f(x) 为偶函数

全部展开

(1)可令X=Y=0 得f（0）+f（0）=f（0）*f（0）
又因为f（0）≠0
所以f（0）=1
(2)
因为f（x）定义在R上，定义域关于原点对称，
令X=Y 得f（2x）+f（0）=2f（x）f（x）
再令X=-Y 得f（2x）+f（0）=2f（x）f（-x）
两式相减得 2f（x）f（x）=2f（x）f（-x）
由f（2x）+f（0）=2f（x）f（x）若f（x）=0得f（0）=0 与条件矛盾
所以f（x）≠0
所以两边除以f（x）得f（-x）=f（x）
所以f（x）是偶函数。

收起

（1）设x=y=0
则f(0)+f(0)=2f(0)*f(0)
移项，f(0)*(f(0)-1)=0
因为f(0)不为0
所以f(0)=1;
（2）令x=0,
所以f(y)+f(-y)=2*f(0)*f(y)
因为f(0)=1,所以f(y)+f(-y)=2*f(y)
移项得f(y)=f(-y)
所以f(x)是偶函数