椭圆性质定理

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 11:31:04
椭圆性质定理

椭圆性质定理
椭圆性质定理

椭圆性质定理
设|F1A|=x,|F1B|=y,则由椭圆定义,|F2A|=2a-x,|F2B|=2a-y,|F1F2|=2c,
由余弦定理,在三角形AF1F2里,
cosAF2F1=((2a-x)²+(2c)²-x²)/(2*(2c)*(2a-x)),
同理,在三角形BF1F2里,
cosBF2F1=((2a-y)²+(2c)²-y²)/(2*(2c)*(2a-y)),
显然由于AF2F1和BF2F1互补,得cosAF2F1+cosBF2F1=0.
即
((2a-x)²+(2c)²-x²)/(2*(2c)*(2a-x))+((2a-y)²+(2c)²-y²)/(2*(2c)*(2a-y))=0,
化简得
2a(a²+c²)-(3a²+c²)((x+y)/2)+axy=0,
因为((x+y)/2)>=√(xy),得2a(a²+c²)-(3a²+c²)√(xy)+axy>=0,得(√(xy)-2a)(√(xy)-(a²+c²)/a)>=0,
得√(xy)

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