作业帮高数--微积分函数设 f(x)的定义域为{x|x属于R,且x不为零},满足 af(x)+bf(1/x)=c/x (其中 a.b.c 均为常数,|a|不等于|b|)证明：f(x)为奇函数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 01:25:14
高数--微积分函数设 f(x)的定义域为{x|x属于R,且x不为零},满足 af(x)+bf(1/x)=c/x (其中 a.b.c 均为常数,|a|不等于|b|)证明：f(x)为奇函数
高数--微积分函数
设 f(x)的定义域为{x|x属于R,且x不为零},满足 af(x)+bf(1/x)=c/x (其中 a.b.c 均为常数,|a|不等于|b|)
证明：f(x)为奇函数
高数--微积分函数设 f(x)的定义域为{x|x属于R,且x不为零},满足 af(x)+bf(1/x)=c/x (其中 a.b.c 均为常数,|a|不等于|b|)证明：f(x)为奇函数
由已知条件,对任意不为零的实数x,有
af(x)+bf(1/x)=c/x------------------------------------------(1)
若a,b其中有一者为零,显然有f(x)为奇函数.
若a,b均不为零,则必有
af(-x)+bf(-1/x)=-c/x---------------------------------------(2)
由(1),(2)可得
a[f(x)+f(-x)]=b[f(1/x)+f(-1/x)]----------------------------(3)
用1/x替代x,可得
b[f(x)+f(-x)]=a[f(1/x)+f(-1/x)]----------------------------(4)
若f(x)不为奇函数,则比存在非零实数m,使得
f(m)+f(-m),f(1/m)+f(-1/m) (否则a,b中必有一者为零,矛盾)
于是有
a[f(m)+f(-m)]=b[f(1/m)+f(-1/m)]------------------------(5)
b[f(m)+f(-m)]=a[f(1/m)+f(-1/m)]------------------------(6)
(5)/(6)可得 a/b=b/a,则a^2=b^2,有|a|=|b|,与条件矛盾.
所以假设矛盾,故f(x)比为奇函数.