等比数列求和：1/2,3/2^2,5/2^3,7/2^4,……,(2n-1)/2^n,

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 03:08:16

等比数列求和：1/2,3/2^2,5/2^3,7/2^4,……,(2n-1)/2^n,
等比数列求和：1/2,3/2^2,5/2^3,7/2^4,……,(2n-1)/2^n,

等比数列求和：1/2,3/2^2,5/2^3,7/2^4,……,(2n-1)/2^n,
S=1/2+3/2^2+...+(2n-1)/2^n
S/2=1/2^2+.+(2n-3)/2^n+(2n-1)/2^(n+1)
相减：
S/2=1/2+2*(1/2^2+1/2^3+...+1/2^n)-(2n-1)/2^(n+1)
=1/2+1/2+1/2^2+...+1/2^(n-1)-(2n-1)/2^(n+1)
=1/2+1/2*[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)-(2n-1)/2^(n+1)
=1/2+1-1/2^(n-1)-(2n-1)/2^(n+1)
=3/2-(2n+3)/2^(n+1)
S=3-(2n+3)/2^n

通过观察我们发现分子组成的数列是一个等差数列，分母组成的数列是一个等比数列。
这种题要用错项相消法。
方法如下：
S=1/2+3/2^2+5/2^3+......+(2n-1)/2^n
2S=1+3/2+5/2^2+.....+(2n-1)/2^(n-1)
两式相减可以得到S=1+2[1/2+1/2^2+.....+1/2^(n-1)]-(2n-1)/2^n...

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