两个数的乘积等于其最大公约数与最小公倍数的乘积,怎么证明?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 10:13:37
两个数的乘积等于其最大公约数与最小公倍数的乘积,怎么证明?

两个数的乘积等于其最大公约数与最小公倍数的乘积,怎么证明?
两个数的乘积等于其最大公约数与最小公倍数的乘积,怎么证明?

两个数的乘积等于其最大公约数与最小公倍数的乘积,怎么证明?
设两个数为x和y,其最大公约数为a,则
最小公倍数为(x/a)*(y/a)*a=xy/a,
最大公约数和最小公倍数的乘积为xy/a*a=xy
得证

这两数记为A,B，设gcd(A,B)=d, 那么存在整数a=A/d,b=B/d, gcd(a,b)=1
lcm(A,B)=lcm(ad,bd)=d.lcm(a,b)=dab
gcd(A,B).lcm(A,B)=d.dab=da.db=AB

设两个数分别为A与B，最大公约数为Z，最小公倍数为Y。
那么设 A/Z=a（1），B/Z=b（2）（a与b互为质数）
根据最小公倍数定义Y/A=b（3）,Y/B=a（4）
式（1）与（2）等号两边分别相乘得A*B/Z/Z=ab(5)
（3）代入（4）等号两边分别相乘得Y*Y/A/B=ab(6)
将（5）代入（6）得A*B/Z/Z=Y*Y/A/B

全部展开

设两个数分别为A与B，最大公约数为Z，最小公倍数为Y。
那么设 A/Z=a（1），B/Z=b（2）（a与b互为质数）
根据最小公倍数定义Y/A=b（3）,Y/B=a（4）
式（1）与（2）等号两边分别相乘得A*B/Z/Z=ab(5)
（3）代入（4）等号两边分别相乘得Y*Y/A/B=ab(6)
将（5）代入（6）得A*B/Z/Z=Y*Y/A/B
根据相关移向得A*A*B*B=Z*Z*Y*Y
两边开方得A*B=Y*Z
希望对你有用。（以前的东西忘的差不多）

收起

两个数的乘积等于其最大公约数与最小公倍数的乘积,怎么证明? 为什么两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积? 为什么最大公约数乘以最小公倍数就是这两个数的乘积? 如何证明最大公约数和最小公倍数的关系：2个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这2个数的乘积. 如何证明两个数的乘积等于最大公因数与最小公倍数的乘积 两个数的最大公约数是20,最小公倍数是300,这两个数的乘积是 两个数的最大公约数是20最小公倍数是330这两个数的乘积是 两个数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的乘积是多少 为什么两个数的乘积除以他们的最大公约数是最小公倍数 两个数的最大公约数与最小公倍数有什么联系? 两个数的最大公约数与最小公倍数是什么关系 c语言：求两个数的最大公约数与最小公倍数 两个数的最大公约数是15,最小公倍数是60,求乘积 两个数的乘积是128,这两个数的最大公约数是4,那么它们的最小公倍数是几? 两个数的和是432,最大公约数加上最小公倍数和是7776求两个数的乘积 四有六分之一和二又九分之二的乘积是否等于最小公倍数与最大公约数 两个自然数的最小公倍数与最大公约数之差等于这两个数之和,且这两个数之和为40,求这两个数?请告诉计算过程 两个自然数的最小公倍数与最大公约数之差等于这两个数之和,且这两个数之和为40,求这两个数?请问为什么？