今天晚上之前,就要!尽量使下半学期的！

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（一）分数应用题的构建
分数应用题主要讨论的是以下三者之间的关系：
（1） 分率：（2）标准量：（3）比较量：
（二）分数应用题的分类
（1）求一个数的几分之几是多少：标准量×几几 （分率）=是多少（分率对应的比较量）.
（2）求比一个数多几分之几多多少：标准量×几几 （分率）=多多少（分率对应的比较量）.
（3）求比一个数多几分之几是多少：标准量×（1 + 几几 ）（分率）=是多少（分率对应的比较量）.
（4）求比一个数少几分之几少多少：标准量×几几 （分率）=少多少（分率对应的比较量）.
（5）求比一个数少几分之几是多少：标准量×（1 - 几几 ）（分率）=是多少（分率对应的比较量）.
2、 求一个数是另一个数的几分之几.这类问题特点是已知两个数量,比较它们之间的
倍数关系,解这类应用题用除法.基本的数量关系是：比较量÷标准量=分率.
（1）求一个数是另一个数的几分之几: 比较量÷标准量=分率（几分之几）.
（2）求一个数比另一个数多几分之几：相差量÷标准量=分率（多几分之几）.
（3）求一个数比另一个数少几分之几：相差量÷标准量=分率（少几分之几）.
3、已知一个数的几分之几是多少,求这个数.这类问题特点是已知一个数的几分之几
是多少的数量,求单位“1”的量,解这类应用题用除法.基本的数量关系是：分率对应的比较量÷分率=标准量.
（1）已知一个数的几分之几是多少,求这个数: 是多少（分率对应的比较量）÷几几 （分率）=标准量.
（2）已知一个数比另一个数多几分之几多多少,求这个数：多多少（分率对应的比较量）÷几几 （分率）=标准量.
（3）已知一个数比另一个数多几分之几是多少,求这个数：是多少（分率对应的比较量）÷（1 + 几几 ）（分率）=标准量.
（4）已知一个数比另一个数少几分之几少多少,求这个数：少多少（分率对应的比较量）÷几几 （分率）=标准量.
（5）已知一个数比另一个数少几分之几是多少,求这个数：是多少（分率对应的比较量）÷（1 –几几 ）（分率）=标准量.
（三）分数应用题的基本训练
量、率对应关系训练
量、率对应关系的训练是解较复杂分数应用题的重要环节.通过训练,能根据应用题的已知条件发挥联想,找出各种量、率间接对应关系,为正确解题铺平道路.如：一批货物,第一次运走总数的15 ,第二次运走总数的14 ,还剩下143吨.量、率对应关系有：
货物的总重量 “1” 第一次运走的重量 15
第二次运走的重量 14 两次工运走的重量 15 + 14
第一次比第二次少运的重量 14 — 15
第一次运走后剩下的重量 1—15
143吨 1— 15 — 14
3、 转化分率训练
在解较复杂的分数应用题时,常需要将间接分率转化为直接运用于解题的分率.（1）已修总长的58 ,则未修是总长的1 — 58 = 38 ；（2）甲班人数是乙班的89 ,则乙班人数是甲班的98 ；（3）今年比去年增产15 ,则今年产量是去年的1 + 15 = 115 ；（4）第一次运走总数的14 ,第二次运走剩下的15 ,则第二次运走的是总数的 [(1 — 14 ) × 15 ] = 320 等.
4、 由分率句到数量关系式训练
“分率句 数量关系式”的训练,是确保正确列式解题的训练.如：由“男生比女生少14 ”可列数量关系式：
女生人数 ×（1 — 14 ）= 男生人数； 女生人数×14 = 男生比女生少的人数；
男生人数 ÷（1 — 14 ）= 女生人数； 男生比女生少的人数÷14 =女生人数.
二、分析解答
1、求一个数的几分之几是多少.
（1） 求一个数的几分之几是多少： 标准量×几几 （分率）=是多少（分率对应的比较量）.
例1：学校买来100千克白菜,吃了45 ,吃了多少千克?（反映整体与部分之间的关系.）
白菜的总重量×45 = 吃了的重量
100 ×45 = 80 （千克）
答：吃了80千克.
例2：一个排球定价60元,篮球的价格是排球的56 .篮球的价格是多少元?（反映甲乙两数之间的关系.） 排球的价格×56 = 篮球的价格
60 ×56 = 50 （元）
答：篮球的价格是50元.
例3：小红体重42千克,小云体重40千克,小新体重相当于小红和小云体重总和的12 .小新体重是多少千克?（两个数量的和做为标准量.）
（小红体重 + 小云体重）× 12 = 小新体重
（42 +40）× = 41 （千克）
答：小新体重41千克.
例4： 有一摞纸,共120张.第一次用了它的35 ,第二次用了它的16 ,两次一共用了多少张纸?（所求数量对应的分率是两个分率的和.）
纸的总张数×（35 + 16 ）=两次共用的张数
120×（35 + 16 ）=92（张）
答：两次共用92张.
例5：国家一级保护动物野生丹顶鹤,2001年全世界约有2000只,我国占其中的14 ,其它国家约有多少只?（所求数量对应的分率没有直接告诉.）
野生丹顶鹤的总只数×（1 — 14 ）= 其它国家的只数
2000×（1 — 14 ）= 1500（只）
答：其它国家约有1500只.
例6：小亮储蓄箱中有18元,小华储蓄的钱是小亮的56 ,小新储蓄的钱是小华的23 .小新储蓄多少钱?（有两个单位“1”的量且都已知.）
小亮储蓄的钱× 56 ×23 = 小新储蓄的钱
18 × 56 ×23 = 10（元）
答：小新储蓄10元.
（2） 求比一个数多几分之几多多少：标准量×几几 （分率）=多多少（分率对应的比较量）.
例1：人的心脏跳动的次数随着年龄而变化.青少年每分钟约跳75次,婴儿每分钟心
跳的次数比青少年多45 .婴儿每分钟心跳比青少年多多少次?（所求数量和已知分率直接对应.） 青少年每分钟心跳次数×45 = 婴儿每分钟心跳比青少年多跳的次数
75 ×45 = 60（次）
答：婴儿每分钟心跳比青少年多跳60次.
（3）求比一个数多几分之几是多少：标准量×（1 + 几几 ）（分率）=是多少（分率对应的比较量）.
例1：人的心脏跳动的次数随着年龄而变化.青少年每分钟约跳75次,婴儿每分钟心跳的次数比青少年多45 .婴儿每分钟心跳多少次?（需将分率转化成所求数量对应的分率.）
青少年每分钟心跳次数 ×（1 + 45 ）=婴儿每分钟心跳的次数
75 × （1 + 45 ）=135（次）
答：婴儿每分钟心跳135次.
例2：学校有20个足球,篮球比足球多 14 ,篮球有多少个?（需将分率转化成所求数量对应的分率.） 足球的个数×（1+ 14 ）=篮球的个数
20×（1+ 14 ）=25（个）
答：篮球有25个.
（4）求比一个数少几分之几少多少：标准量×几几 （分率）=少多少（分率对应的比较量）.
例1：学校有20个足球,篮球比足球少 15 ,篮球比足球少多少个? （所求数量和已知分率直接对应.） 足球的个数×15 = 篮球比足球少的个数
20×15 = 4（个）
答：篮球比足球少4个.
（5）求比一个数少几分之几是多少：标准量×（1 - 几几 ）（分率）=是多少（分率对应的比较量）.
例1：学校有20个足球,篮球比足球少 15 ,篮球有多少个?（需将分率转化成所求数量对应的分率.） 足球的个数×（1 — 15 ）=篮球的个数
20×（1 — 15 ）=16（个）
答：篮球有16个.
例2：一种服装原价105元,现在降价27 ,现在售价多少元?（需将分率转化成所求数量对应的分率.） 服装的原价×（1 —27 ）= 现在售价
105×（1 — 27 ）=75（元）
答：现在售价是75元.
2、求一个数是另一个数的几分之几.
（1）求一个数是另一个数的几分之几: 比较量÷标准量=分率（几分之几）.
例1：学校的果园里有梨树15棵,苹果树20棵.梨树的棵数是苹果树的几分之几?（找准标准量.） 梨树的棵数÷苹果树的棵数 =梨树的棵数是苹果树的几分之几
15÷20 = 34
答：梨树的棵数是苹果树的34 .
例2：学校的果园里有梨树15棵,苹果树20棵.苹果树的棵数是梨树的几倍?（找准标准量.） 苹果树的棵数÷梨树的棵数 =梨树的棵数是苹果树的几倍
20÷15= 113
答：苹果树的棵数是梨树的113 倍.
（2）求一个数比另一个数多几分之几：相差量÷标准量=分率（多几分之几）.
例1：学校的果园里有梨树15棵,苹果树20棵.苹果树的棵数比梨树多几分之几?（相差量是比较量.）苹果树比梨树多的棵数 ÷梨树树的棵数=多几分之几
（20—15）÷15 = 13
答：苹果树的棵数比梨树多13 .
（3）求一个数比另一个数少几分之几：相差量÷标准量=分率（少几分之几）.
例1：学校的果园里有梨树15棵,苹果树20棵.梨树的棵数比苹果树少几分之几?（相差量是比较量.）梨树比苹果树少的棵数÷苹果树的棵数 =少几分之几
（20—15）÷20= 14
答：梨树的棵数比苹果树少14 .
3、已知一个数的几分之几是多少,求这个数.
（1） 已知一个数的几分之几是多少,求这个数: 是多少（分率对应的比较量）÷几几 （分率）=标准量.
例1：一个儿童体内所含水分有28千克,占体重的45 .这个儿童的体重有多少千克（反映整体与部分之间的关系） 体内水分的重量÷ 45 =体重
28 ÷ 45 = 35（千克）
答：这个儿童体重35千克.
例2：一条裤子的价格是75元,是一件上衣的23 .一件上衣多少元?（反映甲乙两数之间的关系） 裤子的单价÷23 =上衣的单价
75÷23 =11212 （元）
答：一件上衣11212 元.
例3：水果店运一批水果.第一次运了50千克,第二次运了70千克,两次正好运了这批水果的14 .这批水果有多少千克?（两个已知数量的和对应分率.）
（第一次运的重量+第二次运的重量）÷14 = 这批水果的重量
（50+70）÷14 =480（千克）
答： 这批水果480千克.
例4：一辆汽车从甲地开往乙地,第一小时行了全程的14 ,第二小时行了全程的518 ,两小时行了114千米.两地之间的公路长多少千米?（已知数量对应的分率是两个分率的和.）
两小时行的路程÷（14 + 518 ）=两地之间的公路长度
114÷（14 + 518 ）=216（千米）
答：两地之间的公路长216千米.
例5：一桶水,用去它的34 ,正好是15千克.这桶水重多少千克?（已知数量和分率直接对应.） 用去的重量÷34 =这桶水的总重量
15÷34 =20（千克）
答：这桶水重20千克.
例6：小红家买来一袋大米,吃了58 ,还剩15千克.买来大米多少千克?（已知数量和分率不直接对应.） 剩下的重量÷（1— 58 ）= 买来大米的重量
15÷（1— 58 ）= 40（千克）
答： 买来大米40千克.
例7：光明小学航模小组是生物小组的45 ,生物小组的人数是美术小组的13 .航模小组有8人,美术小组有多少人?（有两个单位“1”的量且都未知.）
航模小组的人数÷45 ÷13 = 生物小组的人数
8÷45 ÷13 = 30（人）
答：生物小组有30人.
例8：商店运来一些水果,运来苹果20筐,梨的筐数是苹果的34 ,同时又是橘子的35 .运来橘子多少筐?（有两个单位“1”的量,一个已知,一个未知.）
苹果筐数×34 ÷35 = 橘子的筐数
20×34 ÷35 = 25（筐）
答：橘子有25 筐.
（2）已知一个数比另一个数多几分之几多多少,求这个数：多多少（分率对应的比较量）÷几几 （分率）=标准量.
例1：某工程队修筑一条公路.第一周修了这段公路的14 ,第二周修筑了这段公路的27 ,第二周比第一周多修了2千米.这段公路全长多少千米?（需要找相差数量对应的分率.）
第二周比第一周多修的千米数÷（ 27 — 14 ）=公路的全长
2÷（ 27 — 14 ）=56（千米）
答：这段公路全长56千米.
（3）已知一个数比另一个数多几分之几是多少,求这个数：是多少（分率对应的比较量）÷（1 +几几 ）（分率）=标准量.
例1：学校有20个足球,足球比篮球多 14 ,篮球有多少个?（需将分率转化成所求数量对应的分率.） 足球的个数÷（1+ 14 ）=篮球的个数
20÷（1+ 14 ）=16（个）
答：篮球有16个.
（4）已知一个数比另一个数少几分之几少多少,求这个数：少多少（分率对应的比较量）÷几几 （分率）=标准量.
例1：某工程队修筑一条公路.第一天修了38米,第二天了42米.第一天比第二天少
修的是这条公路全长的128 .这条公路全长多少米?（需要找相差分率对应的数量.）
第一天比第二天少修的米数÷128 =公路的全长
（42 — 38）÷128 =112（米）
答：这段公路全长112米.
（5）已知一个数比另一个数少几分之几是多少,求这个数：是多少（分率对应的比较量）÷（1 –几几 ）（分率）=标准量.
例1：学校有20个足球,足球比篮球少 15 ,篮球有多少个?（需将分率转化成所求数量对应的分率.） 足球的个数÷（1—15 ）=篮球的个数
20÷（1—15 ）=25（个）
答：篮球有25个.
4、较复杂的分数应用题.
例1：学校食堂九月份用煤气640立方分米,十月份计划用煤气是九月份的910 ,而十月份实际用煤气比原计划节约112 .十月份比原计划节约用煤气多少立方分米?（明确题中的三个数量,把那两个数量看做单位“1”,所求数量对应的分率.）
九月份用煤气的体积×910 ×112 =十月份比原计划节约用煤气的体积
640×910 ×112 =144（立方分米）
答：十月份比原计划节约用煤气144立方分米.
例2：鞋厂生产皮鞋,十月份生产的双数与九月份生产的双数的比是5∶4.十月份生产2000双,九月份生产多少双?（比和已知数量不对应,不是按比例分配的应用题,需把比转化成分率.）
解法一：十月份生产的双数是九月份生产的双数的54 .
十月份生产的双数÷54 = 九月份生产的双数
2000÷54 = 1600（双）
解法二：九月份生产的双数是十月份生产的双数的45 .
十月份生产的双数×45 = 九月份生产的双数
2000×45 = 1600（双）
答：九月份生产1600双.
例3：有一袋米,第一周吃了40%,第二周吃了12千克,还剩6千克.这袋大米原有多少千克?（比较量是两个数量的和,且对应的分率没有直接告诉.）
（第二周吃的重量 + 还剩的重量）÷ （1 — 40%）=这袋大米原有的重量
（ 12 + 6 ）÷ （1 — 40%）= 30 （千克）
答：这袋大米原有30千克.
例4：张师傅加工一批零件,第一天完成的个数与零件总个数的比是1∶3.如果再加工15个,就可以完成这批零件的一半.这批零件共有多少个?（关键是要找出“再加工15个”对应的分率.需要把比转化成分率,找出隐含的分率.）
思考：有“第一天完成的个数与零件总个数的比是1∶3”可得出“第一天完成的个数是零件总个数的13 ”；根据“如果再加工15个,就可以完成这批零件的一半” 可得出“现在完成的个数是零件总个数的12 ”；所以“15个对应的分率是（12 — 13 ）”.
再加的零件个数 ÷（12 — 13 ）= 这批零件共有的个数
15 ÷（12 — 13 ）= 90 （个）
答：这批零件共有90个.
例5：小红看一本故事书.第一天看了45页,第二天看了全书的14 ,第二天看的页数恰好比第一天多20%.这本书一共有多少页?（关键是要找出“第一天看了45页”对应的分率.）
第一天看的页数÷（14 —20%）= 这本书一共的页数
45÷（14 —20%）= 900（页）
答：这本书一共900页.
按比例分配的应用题
例1：居峪小学给六年级买来45本儿童读物,按4:5分别借给三班和四班.这两
个班各借得多少本?（标准的按比例分配的应用题.）
（1）儿童读物分成的总份数：4 + 5 = 9
（2）借给三班的本数：45 ×49 = 20（本）
（3）借给四班的本数：45 ×59 = 25（本）
答：借给三班20本,借给四班25本.
例2：用48厘米的铁丝围成一个长方形,这个长方形的长和宽的比是5:3.这个
长方形的长和宽各是多少?（思考 ：题中的分配总量没有直接告诉,怎样求.）
（1）长和宽的和分成的总份数：5+ 3 = 8
（2）长：48÷2×58 = 15（厘米）
（3）宽：48÷2×38 = 9（厘米）
答：长是15厘米,宽是9厘米.
例3：居峪小学的男生人数是女生人数的43 ,全校有学生539人.男女生各有多少
人?（思考 ：题中没出现“:”号,怎样按照一定的比进行分配.）
（1）全校学生分成的总份数：4+ 3 = 7
（2）男生人数：539×47 =308（人）
（3）女生人数：539×37 =231（人）
答：男生有308人,女生有231人.
和倍和差倍应用题
例1：饲养小组养的白兔和黑兔共有18只,其中白兔的只数是黑兔的5倍.白兔和黑
兔各有多少只?（和倍.） 白兔的只数+黑兔的只数 = 白兔和黑兔共有的只数
设黑兔有Χ只.
5 Χ + Χ = 18
Χ = 3
18 — 3 = 15（只）
答：白兔有15只,黑兔有3 只.
例2：饲养小组养的白兔和黑兔共有18只,其中黑兔的只数是白兔的15 .白兔和黑兔
各有多少只?（和倍.） 白兔的只数+黑兔的只数 = 白兔和黑兔共有的只数
设白兔有Χ只.
Χ + 15 Χ = 18
Χ = 15
18 — 15 = 3（只）
答：白兔有15只,黑兔有3 只.
例3：一张课桌比一把椅子贵10元,如果椅子的单价是课桌的单价的35 ,课桌和椅子
的单价各是多少元?（差倍.） 课桌的单价 — 椅子的单价 = 课桌比椅子贵的价钱
设课桌的单价是Χ元.
Χ — 35 Χ = 10
Χ = 25
25 — 10 = 15（元）
答：课桌的单价是25元 ,椅子的单价是15元.
工程应用题
例1： 一段公路,甲队单独修10天完成,乙队单独修15天完成.两队合修几天可以完
成? 工作总量÷工 效 和=合作时间
1÷（110 + 115 ）=6（天）
答：两队合修6天可以完成.
例2：一件工作,甲单独做要用10小时,乙单独做要用15小时.甲做完 13 后,两人合
作,还需要几小时完成? （ 工作总量— 完成工作量）÷工 效 和=合作时间
（1— 13 ）÷（110 + 115 ）=4（小时）
答：两人合做4小时可以完成.
例3：一件工作,两人合作10天可以完成,甲单独做14天可以完成.两人合作4天,
余下的有乙单独做,还需要几天完成?（完成的工作量和乙的工作效率没有直接告诉.）
（ 工作总量— 完成工作量）÷乙的工作效率=还需要的工作时间
（1— 110 ×4）÷（110 — 114 ）=21（天）
答：还需要21天可以完成.
百分数应用题
一、百分数应用题的类别
与分数应用题对应,百分数也有三类基本应用题：
1、求一个数的百分之几是多少.
2、求一个数是另一个数的百分之几.
3、已知一个数的百分之几是多少,求这个数.
在实际中应用较多的是求一个数是另一个数的百分之几的应用题,如求产品的合格率、出粉率、出勤率、出米率、发芽率、成活率、及格率、优生率、烘干率、含水率、废品率、利率等.
二、分数应用题的解法
百分数应用题的解法与分数应用题的解法完全相同,只是分率不是一般的分率,而是百分率.
圆分析解答
例1： 1、圆的半径和直径的比是1 ∶2 .
2、圆的周长和直径的比是Л∶1 .
3、两圆直径的比是两圆半径之比.
4、两圆周长的比是两圆半径之比.
5、两圆面积的比是两圆半径平方之比.
例2：一张圆桌面的直径是0.95米.这张圆桌面的周长是多少米?（已知直径求
周长.）
C =Лd
C =Л d
3.14×0.95≈2.98（米）
答：这张圆桌面的周长是2.98米.
例3：饭店的大厅内挂着一只大钟,它的分针长40厘米.这根分针的尖端转动一周所走的路程是多少厘米?（已知半径求周长.）
C = 2Лr
C =Л ×（ r × 2）
3.14×（ 40 × 2）=251.2（厘米）
答：这根分针的尖端转动一周所走的路程是251.2厘米.
例4：一个圆形水池,周长是37.68米.它的直径和半径各是多少米?（已知周长求直径和半径.）
d = C Л r = C2Л
37.68÷3.14=12（米） 37.68÷（3.14×2）=6（米）
答：它的直径是12米,半径是6米.
例5：一个圆的半径是4厘米.它的面积是多少平方厘米?（已知半径求面积.）
S =Лr²
S = Л × r²
3.14 × 4² = 50.24（平方厘米）
答：它的面积是50.24平方厘米.
例6：一个雷达圆形屏幕的直径是40厘米.它的面积是多少平方米?（已知直径求
面积.）
S =Л（ d2 ）²
S =Л×（ d ÷ 2 ）² 40厘米=0.4米
3.14×（ 0.4÷ 2 ）²= 0.1256（平方米）
答：它的面积是0.1256平方米.
例7：街心花园中圆形花坛的周长是18.84米.花坛的面积是多少平方米?（已知周长求面积.）
S =Л（C2Л ）²
S =Л×（C÷Л÷2）²
3.14×（18.84÷3.14 ÷2）²=28.26（平方米）
答：花坛的面积是28.26平方米.
例8：一个环形铁片,它的内圆半径是10厘米,外圆半径是15厘米.它的面积是多少平方厘米?（求环形面积.）
S =Л（R² — r²）
S =Л×（R² — r²）
3.14×（15² — 10² ）=392.5（平方厘米）
答：它的面积是392.5平方厘米.

1.已知a、b为正整数，且(a+b)+ab+(a-b)+a/b=240,若a大于b，求ab的最大值。
2.已知a、b、c为正数，并满足 a的平方+b的平方=c的平方，a为质数.(1)判断ab奇偶性. (2)证明 2(a+b+1)是完全平方数. (3)求出2(a+b+1)的最小值.
1.已知a、b为正整数，且(a+b)+ab+(a-b)+a/b=240,若a大于b，求ab的最大值...

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1.已知a、b为正整数，且(a+b)+ab+(a-b)+a/b=240,若a大于b，求ab的最大值。
2.已知a、b、c为正数，并满足 a的平方+b的平方=c的平方，a为质数.(1)判断ab奇偶性. (2)证明 2(a+b+1)是完全平方数. (3)求出2(a+b+1)的最小值.
1.已知a、b为正整数，且(a+b)+ab+(a-b)+a/b=240,若a大于b，求ab的最大值。
(a+b)+ab+(a-b)+a/b=240
a(2+b+1/b)=240
设a=kb,
2kb+kb^2+k=240
k(b+1)^2=240=2*2*2*2*3*5
(b+1)=2, b=1, k=60, a=60, ab=60,
(b+1)=2*2, b=3, k=15, a=45, ab=135,
ab的最大值=135,
2.已知a、b、c为正数，并满足 a的平方+b的平方=c的平方，a为质数.(1)判断ab奇偶性. (2)证明 2(a+b+1)是完全平方数. (3)求出2(a+b+1)的最小值.
(1)a为质数,2又不并满足 a的平方+b的平方=c的平方,所以,a为奇数,ab也是奇数,
(2)
(3)2(a+b+1)的最小值=2(3+4+1)=16.

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