作业帮一道导数问题：已知函数f（x）=1/3x^3+1/2ax^2+ax+1,（a不等于0）设A(x1,f（x1）),B(x2,f（x2）)是函数f（x）的两个不同的极值点,若直线AB的斜率不小于-2,求实数a的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 12:08:47
一道导数问题：已知函数f（x）=1/3x^3+1/2ax^2+ax+1,（a不等于0）设A(x1,f（x1）),B(x2,f（x2）)是函数f（x）的两个不同的极值点,若直线AB的斜率不小于-2,求实数a的取值范围.
一道导数问题：已知函数f（x）=1/3x^3+1/2ax^2+ax+1,（a不等于0）
设A(x1,f（x1）),B(x2,f（x2）)是函数f（x）的两个不同的极值点,若直线AB的斜率不小于-2,求实数a的取值范围.
一道导数问题：已知函数f（x）=1/3x^3+1/2ax^2+ax+1,（a不等于0）设A(x1,f（x1）),B(x2,f（x2）)是函数f（x）的两个不同的极值点,若直线AB的斜率不小于-2,求实数a的取值范围.
由已知得：f '(x)=x^2+ax+a
因为 A,B是函数f(x)的两给不同的极值点
所以 x^2+ax+a=0有两个不同根即x1,x2且x1+x2= -a,x1x2=a
即 a^2 -4a >0
得 a4
又AB斜率为 [f(x1) -f(x2)] / (x1 -x2)=[ 1/3(x1^3 -x2^3)+1/2a(x1^2 -x2^2)+a(x1 -x2) ]/ (x1 -x2)
=1/3 [(x1+x2)^2 -x1x2]+1/2a(x1+x2)+a
=1/3[( -a)^2 -a]+1/2a( -a)+a
= (-1/6)a^2+(2/3)a
因为直线AB的斜率不小于-2
所以 (-1/6)a^2+(2/3)a >= -2
解得 -2
斜率K=[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)
=[(x2)^2+x1+x2+(x1)^2]/3 +(x2+x1)/2+a
=[(x1+x2)^2]/3+(x1+x2)/2
-x1x2/3+a
因为f'(x)=x^2+ax+a，
所以△=a^2-4a>0...
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斜率K=[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)
=[(x2)^2+x1+x2+(x1)^2]/3 +(x2+x1)/2+a
=[(x1+x2)^2]/3+(x1+x2)/2
-x1x2/3+a
因为f'(x)=x^2+ax+a，
所以△=a^2-4a>0-----------------① ，x1+x2=-a，x1x2=a
所以K=[(-a)^2]/3-a/2-a/3+a
=(a^2)/3+a/6≥-2 ---------②
又由f'(x)图像开口方向得极大值点小于极小值点，所以K<0----③
由① ② ③得-1/2
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见图。
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对函数求导并且令导函数等于0，得到x^2+x+a=0 可知x1+x2=-1,x1x2=a
AB的斜率为(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)>=-2 整理得1/3(x1^2+x1x2+x2^2)+1/2(x1+x2)+a>=-2
于是1/3(x1+x2)^2-1/3x1x2+1/2(x1+x2)+a>=-2
将值代入有1/3-1/3 a-1/2+a>=-2 得 a>=...
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对函数求导并且令导函数等于0，得到x^2+x+a=0 可知x1+x2=-1,x1x2=a
AB的斜率为(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)>=-2 整理得1/3(x1^2+x1x2+x2^2)+1/2(x1+x2)+a>=-2
于是1/3(x1+x2)^2-1/3x1x2+1/2(x1+x2)+a>=-2
将值代入有1/3-1/3 a-1/2+a>=-2 得 a>=-11/4
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