某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的件数与商品单价的降低值X（单位：0≤X≤30）的平方成正比.已知商品单价降低2元时,一星期多卖

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 15:59:46

某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的件数与商品单价的降低值X（单位：0≤X≤30）的平方成正比.已知商品单价降低2元时,一星期多卖
某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的件数与商品单价的降低值X（单位：0≤X≤30）的平方成正比.已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.
⑴ 将一个星期的商品销售利润表示成X的函数
⑵ 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?

某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的件数与商品单价的降低值X（单位：0≤X≤30）的平方成正比.已知商品单价降低2元时,一星期多卖
（Ⅰ）设商品降价x元,则多卖的商品数为kx2,若记商品在一个星期的获利为f（x）,
则依题意有f（x）=（30-x-9）（432+kx2）=（21-x）（432+kx2）,
又由已知条件,24=k•22,于是有k=6,
所以f（x）=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,30]．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）,我们有f'（x）=-18x2+252x-432=-18（x-2）（x-12）．
∴当x=12时,f（x）达到极大值．
因为f（0）=9072,f（12）=11264,
所以定价为30-12=18元能使一个星期的商品销售利润最大．
对于楼上的言论,我很无语.

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（Ⅰ）设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f（x），
则依题意有f（x）=（30-x-9）（432+kx2）=（21-x）（432+kx2），
又由已知条件，24=k•22，于是有k=6，
所以f（x）=-6x3+126x2-432x+9072，x∈[0，30]．
（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有f'（x）=-18x2+252x-432=-18（x-2）（x-12）．
∴当x=12时，f（x）达到极大值．
因为f（0）=9072，f（12）=11264，
所以定价为30-12=18元能使一个星期的商品销售利润最大．
本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．利用导数求函数的最值是解决本题的关键．
（Ⅰ）设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f（x），
则依题意有f（x）=（30-x-9）（432+kx2）=（21-x）（432+kx2），
又由已知条件，24=k•22，于是有k=6，
所以f（x）=-6x3+126x2-432x+9072，x∈[0，30]．
（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有f'（x）=-18x2+252x-432=-18（x-2）（x-12）．
∴当x=12时，f（x）达到极大值．
因为f（0）=9072，f（12）=11264，
所以定价为30-12=18元能使一个星期的商品销售利润最大．

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