作业帮当x趋向2时,二分之x的(x-2)分之一次方的极限是多少
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 17:03:28
当x趋向2时,二分之x的(x-2)分之一次方的极限是多少
当x趋向2时,二分之x的(x-2)分之一次方的极限是多少
当x趋向2时,二分之x的(x-2)分之一次方的极限是多少
x趋向2时,(x/2)^(1/(x-2))=[(x-2+2)/2]^(1/(x-2))=根号下[(1+(x-2)/2)^(2/(x-2))]
x-<2 (x-2)/2-<0 原式等于根号e
lim(x/2)^(1/(x-2))
=lim(1+x/2-1)^(1/(x/2-1)(x/2-1)(1/(x-2))
底数(1+x/2-1)^(1/(x/2-1)趋于e，指数(x/2-1)(1/(x-2))趋于1/2
故：lim(x/2)^(1/(x-2))=e^(1/2)
另设y=(x/2)^(1/(x-2)).lny=ln(x/2)/(x-2)
全部展开
lim(x/2)^(1/(x-2))
=lim(1+x/2-1)^(1/(x/2-1)(x/2-1)(1/(x-2))
底数(1+x/2-1)^(1/(x/2-1)趋于e，指数(x/2-1)(1/(x-2))趋于1/2
故：lim(x/2)^(1/(x-2))=e^(1/2)
另设y=(x/2)^(1/(x-2)).lny=ln(x/2)/(x-2)
limlny=limln(x/2)/(x-2)=1/2 （用罗比达法则）
所以：lim(x/2)^(1/(x-2))=e^(1/2)
收起
你可以将这题转换看成(1+x)^(1/x)这个标准式来计算。
我们令大X=(x-2)/2
那么这题就可以看作是求[(1+X)^(1/X)]的平方根的极限
极限(1+X)^(1/X)的极限是e
那么原式的极限就是（根号）√e
令：y=(x/2)^[1/(x-2)]
lny=1/(x-2) ln(x/2)
lny=(lnx-ln2)/(x-2)
lim(x->2)lny=lim(x->2) (lnx-ln2)/(x-2) //: 用洛必达法则
=lim(x->2) (1/x)
=1/2
即：lny = 1/2
y = e^(1/2)
因此：lim(x->2) (x/2)^[1/(x-2)] = e^(1/2) = √e