25．如图,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形（点M的位置改变时,△DMN也随之整体移动） ．（1）如图①,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有

25．如图,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形（点M的位置改变时,△DMN也随之整体移动） ．（1）如图①,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有
25．如图,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形（点M的位置改变时,△DMN也随之整体移动） ．
（1）如图①,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有怎样的数量关系?点F是否在直线NE上?都请直接写出结论,不必证明或说明理由；
（2）如图②,当点M在BC上时,其它条件不变,（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请利用图②证明；若不成立,请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时,请你在图③中画出相应的图形,并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论,不必证明或说明理由．

25．如图,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形（点M的位置改变时,△DMN也随之整体移动） ．（1）如图①,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有
（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF）,点F在直线NE上,
（2）成立.
证明：
方法一：连结DE,DF.
∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC=BC.
又∵D,E,F是三边的中点,
∴DE,DF,EF为三角形的中位线.∴DE=DF=EF,∠FDE=60°.
又∠MDF+∠FDN=60°, ∠NDE+∠FDN=60°,
∴∠MDF=∠NDE.
在△DMF和△DNE中,DF=DE,DM=DN, ∠MDF=∠NDE,
∴△DMF≌△DNE.
∴MF=NE. (图：http://czsx.cooco.net.cn/files/down/test/2001/06/07/25/200106072577920371128225daan.files/image001.jpg)
方法二：
延长EN,则EN过点F.
∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC=BC.
又∵D,E,F是三边的中点, ∴EF=DF=BF.
∵∠BDM+∠MDF=60°, ∠FDN+∠MDF=60°,
∴∠BDM=∠FDN.
又∵DM=DN, ∠ABM=∠DFN=60°,
∴△DBM≌△DFN.
∴BM=FN.
∵BF=EF, ∴MF=EN.
方法三：
连结DF,NF.
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC=AC.
又∵D,E,F是三边的中点,
∴DF为三角形的中位线,∴DF=2/1AC=2/1AB=DB.
又∠BDM+∠MDF=60°, ∠NDF+∠MDF=60°,
∴∠BDM=∠FDN.
在△DBM和△DFN中,DF=DB,
DM=DN, ∠BDM=∠NDF,∴△DBM≌△DFN.
∴∠B=∠DFN=60°.
又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形,
∴∠DFE=60°.
∴可得点N在EF上,
∴MF=EN.
（3）画出图形（连出线段NE）,
MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）. （图：http://czsx.cooco.net.cn/files/down/test/2001/06/07/25/200106072577920371128225daan.files/image003.gif）

上面的大哥已经回答得很好了

连结DF，NF。
∵△ABC是等边三角形
∴AC=BC=AC
又∵D，E，F是三边的中点
∴DF为三角形的中位线
∴DF=2/1AC=2/1AB=DB
又∠BDM+∠MDF=60° ∠NDF+∠MDF=60°
∴∠BDM=∠FDN
在△DBM和△DFN中，DF=DB
DM=DN， ∠B...

全部展开

连结DF，NF。
∵△ABC是等边三角形
∴AC=BC=AC
又∵D，E，F是三边的中点
∴DF为三角形的中位线
∴DF=2/1AC=2/1AB=DB
又∠BDM+∠MDF=60° ∠NDF+∠MDF=60°
∴∠BDM=∠FDN
在△DBM和△DFN中，DF=DB
DM=DN， ∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN
∴∠B=∠DFN=60°
又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形
∴∠DFE=60°
∴可得点N在EF上
∴MF=EN

收起