已知abc为正数,且a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/03 16:05:59
已知abc为正数,且a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc

已知abc为正数,且a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc
已知abc为正数,且a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc

已知abc为正数,且a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc
∵a+b+c=1
∴1-a=b+c
同理可知
1-b=a+c
1-c=a+b
a、b、c都是正数
(√a-√b)²≥0
a+b≥2√ab
同理可得
a+c≥2√ac
b+c≥2√bc
(1-a)(1-b)(1-c)
=(b+c)(a+c)(b+c)≥2√bc2√ac2√ab
=8√bcacab
=8abc
∴(1-a)(1-b)(1-c) ≥8abc

本题主要考察重要不等式。
∵a+b+c=1 ,∴1-a=b+c,同理1-b=a+c,1-c=a+b,因为a、b、c都是正数,所以a+b≥2√ab,同理可得a+c≥2√ac,b+c≥2√bc,所以(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(b+c)≥2√bc2√ac2√ab=8√(abc)^2=8abc,即(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc