作业帮设函数f(x)=ax+1/(x+b) (a,b是整数),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3,（1）求f(x)的解析式；（2）、已知函数y=f(x)的图像是一个中心对称图形,求其对称中心的坐标；（3）设直线l是过曲线y=f(x)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 20:54:55
设函数f(x)=ax+1/(x+b) (a,b是整数),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3,（1）求f(x)的解析式；（2）、已知函数y=f(x)的图像是一个中心对称图形,求其对称中心的坐标；（3）设直线l是过曲线y=f(x)
设函数f(x)=ax+1/(x+b) (a,b是整数),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3,（1）求f(x)的解析式；（2）、已知函数y=f(x)的图像是一个中心对称图形,求其对称中心的坐标；（3）设直线l是过曲线y=f(x)上一点p(a,b)的切线,求直线l与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积.
主要是第三问
设函数f(x)=ax+1/(x+b) (a,b是整数),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3,（1）求f(x)的解析式；（2）、已知函数y=f(x)的图像是一个中心对称图形,求其对称中心的坐标；（3）设直线l是过曲线y=f(x)
(1)y=ax+1/(x+b)
y'=a-1/(x+b)^2
x=2时,y'=a-1/(2+b)^2=0
且f(2)=3,即2a+1/(2+b)=3
解得a=1,b=-1(非整数解舍去）
f(x)=x+1/(x-1)
(2)f(x)=(x-1)+1/(x-1)+1
所以f(x)可以看做由g(x)=x+1/x向左平移一个单位再向上平移一个单位得到
g(x)的对称中心为原点
则f(x)对称中心为(1,1)
(3)坐标平移不影响三角形的面积,因此本题可以化简为
g(x)=x+1/x上一点的切线与y轴和y=x所围成的三角形的面积
切点p(a,b)的新坐标为(a-1,b-1)
下面问题是这个a和b显然不是(1)中的a和b,所以切线方程为
y-(a-1+1/(a-1))=(1-1/(a-1)^2)(x-a+1)
在y轴上的截距为2/(a-1),与y=x的交点横坐标为2(a-1)
所以S=1/2*2/|a-1|*2|a-1|=2
问下那个函数中的1是跟在哪边的
(3)解答f'(x)=1-1/(x-1)^2,设切点p(a,b)，切线方程为y-b=(1-1/(a-1)^2)(x-a),与x=1的交点的纵坐标为h'=b+1-a+1/(a-1),切线方程y-b=(1-1/(a-1)^2)(x-a)与y=x交点的横坐标为m=(b-a)(a-1)^2+a,三角形的底为|h'-1|=|b-a+1/(a-1)|,高为|m-1|=|(b-a)(a-1)^2+a-1|,S=...
全部展开
(3)解答f'(x)=1-1/(x-1)^2,设切点p(a,b)，切线方程为y-b=(1-1/(a-1)^2)(x-a),与x=1的交点的纵坐标为h'=b+1-a+1/(a-1),切线方程y-b=(1-1/(a-1)^2)(x-a)与y=x交点的横坐标为m=(b-a)(a-1)^2+a,三角形的底为|h'-1|=|b-a+1/(a-1)|,高为|m-1|=|(b-a)(a-1)^2+a-1|,S=1/2|b-a+1/(a-1)||(b-a)(a-1)^2+a-1|=1/2[(b-a)(a-1)+1]^2,因为p(a,b)在f(x)=x+1/(x-1)上，代入化简得(b-a)(a-1)=1，所以S=2
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