已知扇形的周长为a,当扇形的圆心角α和半径r各取何值时,扇形的面积最大?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 22:08:28

已知扇形的周长为a,当扇形的圆心角α和半径r各取何值时,扇形的面积最大?
已知扇形的周长为a,当扇形的圆心角α和半径r各取何值时,扇形的面积最大?

已知扇形的周长为a,当扇形的圆心角α和半径r各取何值时,扇形的面积最大?
根据弧长与半径的关系弧长L等于圆心角α(弧度制)乘以扇形的半径r
即L=αr
∴扇形的周长a=L+2r=αr+2r,得α=(a/r)-2
扇形的面积S=(α/2π)×π×r²=(1/2)αr²=(1/2)×[(a/r)-2]×r²=-r²+1/2ar=-(r-a/4)²+a²/16
∴当r=a/4时,扇形的面积最大,扇形的最大面积S(max)=a²/16
当r=a/4时,α=2
∴当r=a/4,α=2时,扇形的面积最大,最大面积为a²/16

a= (2πR)*(α/2π) + 2R = R(α+2)
R =a/(α+2)
S = (πR^2) * (α/2π) = αR^2 /2 = (a^2 /2) α/(α+2)^2
= (a^2 /2)/(α + 4 + 4/α)
其中 α + 4/α ≥ 2 * √α *√(4/α) = 4
当 α = 4/α 即 α = 2 时 α + 4/α 取最小...

全部展开

a= (2πR)*(α/2π) + 2R = R(α+2)
R =a/(α+2)
S = (πR^2) * (α/2π) = αR^2 /2 = (a^2 /2) α/(α+2)^2
= (a^2 /2)/(α + 4 + 4/α)
其中 α + 4/α ≥ 2 * √α *√(4/α) = 4
当 α = 4/α 即 α = 2 时 α + 4/α 取最小值, 对应 S 取最大值
此时
R =a/(α+2) =a/4
答: 当 R = a/4, α = 2 弧度时, 扇形面积最大 S = a^2 /16

收起

2лr(α/360)+2r=a，得(α/360)=(a-2r)/2лr

лr²(α/360)
=лr²(a-2r)/2лr
=r(a-2r)/2
=(1/2)(ar-2r²)
=-(r²-ar/2)
=-(r-a/4)²+a²/16
当r=a/4时，有最大值为a²/16
这是α=360（a-2a/4)/2лa/4
=360/л