在RT△ABC中 AB=AC ∠BAC=90° D是BC上任意一点 求证BD²+CD²=2AD²

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 14:50:16
在RT△ABC中 AB=AC ∠BAC=90° D是BC上任意一点 求证BD²+CD²=2AD²

在RT△ABC中 AB=AC ∠BAC=90° D是BC上任意一点 求证BD²+CD²=2AD²
在RT△ABC中 AB=AC ∠BAC=90° D是BC上任意一点 求证BD²+CD²=2AD²

在RT△ABC中 AB=AC ∠BAC=90° D是BC上任意一点 求证BD²+CD²=2AD²
证 明:作AE⊥BC于E,如上图所示:
由题意得:ED=BD-BE=CE-CD,
∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴BE=CE= 12BC,
由勾股定理可得:
AB2+AC2=BC2,
AE2=AB2-BE2=AC2-CE2,
AD2=AE2+ED2,
∴2AD2=2AE2+2ED2=AB2-BE2+(BD-BE)2+AC2-CE2+(CE-CD)2
=AB2+AC2+BD2+CD2-2BD×BE-2CD×CE
=AB2+AC2+BD2+CD2-2× 12BC×BC
=BD2+CD2,
即:BD2+CD2=2AD2.

过点A作AE⊥BC与于E
BD²=(BE-DE)²
=BE²-2BE·DE+DE²
=CE²+DE²-2BE·DE
CD²=(CE+DE)²
=CE²+2CE·DE+DE²
BD²+CD²=2CE...

全部展开

过点A作AE⊥BC与于E
BD²=(BE-DE)²
=BE²-2BE·DE+DE²
=CE²+DE²-2BE·DE
CD²=(CE+DE)²
=CE²+2CE·DE+DE²
BD²+CD²=2CE²+2DE²
=2(CE²+DE²)
=2(AE²+DE²)
=2AD²

收起

当D在左边时,作AH垂直BC,BH=CH=AH
BD=CH-DH=AH-DH,CD=CH+DH=AH+DH,代入BD^2+CD^2=2AH^2+2DH^2=2AD^2
同理可证其它情况