作业帮已知正数a,b,且a+b=1,求证:(a+2)方+(b+2)方大于等于25/2如何知道a^2+b^2>=2ab?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 19:34:04
已知正数a,b,且a+b=1,求证:(a+2)方+(b+2)方大于等于25/2如何知道a^2+b^2>=2ab?
已知正数a,b,且a+b=1,求证:(a+2)方+(b+2)方大于等于25/2
如何知道a^2+b^2>=2ab?
已知正数a,b,且a+b=1,求证:(a+2)方+(b+2)方大于等于25/2如何知道a^2+b^2>=2ab?
a²+b²>=2ab
所以 a²+b²>=(a+b)²/2=1/2
原式展开=a²+b²+4(a+b)+8>=1/2+12=25/2
>= 代表 大于等于
分析：由条件a+b=1联想到直线方程，由欲证式左边联想到距离的平方，从而使问题转化为线段上动点与定点的距离的最小值问题。
如图，a+b=1(a>0,b>0)表示直线AB在第一象限内的一段，（a+2）^2+(b+2)^2表示线段AB上一点N（a,b）到点M（-2，-2）的距离的平方，AB的中点C（1/2，1/2）
∵|MN|2≥|MC...
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分析：由条件a+b=1联想到直线方程，由欲证式左边联想到距离的平方，从而使问题转化为线段上动点与定点的距离的最小值问题。
如图，a+b=1(a>0,b>0)表示直线AB在第一象限内的一段，（a+2）^2+(b+2)^2表示线段AB上一点N（a,b）到点M（-2，-2）的距离的平方，AB的中点C（1/2，1/2）
∵|MN|2≥|MC|2=25/2
∴（a+2）^2+(b+2)^2≥25/2
收起
a^+4a+4+b^+4b+4=a^+b^+4(a+b)+8=a^+b^+12=(a+b)^-2ab+12=13-2ab
因为a+b=1，所以ab小于等于0.25（不信可以试试看），所以:(a+2)方+(b+2)方大于等于25/2
(a+2)^2+(b+2)^2=a^2+2a+4+b^2+2b+4=
a^2+b^2+4(a+b)+8
(a+b)^2-2ab+4(a+b)+8=
4(a+b)-2ab+9=
-2ab+13
又:a^2+b^2>=2ab
有：(a+b)^2-2ab>=2ab
即：（a+b）^2>=4ab
有：-2ab>=-(a+b)^2/2=-1/2
所以：-2ab+13>=-1/2+13=25/2