证明:平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和的两倍
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/11 17:35:09
证明:平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和的两倍
证明:平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和的两倍
证明:平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和的两倍
高中证法:
用向量来证最简单,只需3步,而且不用作任何辅助线.(以下的量均表示向量,那个箭头打不出来)
证明:平行四边形ABCD中AC=DC-DABD=DA+DC
所以 AC^2+BD^2=(DC-DA)^2+(DA+DC)^2
=DC^2+DA^2-2DC*DA+DC^2+DA^2+2DC*DA
=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2
得证
初中证明方法
证明:如图
过A,D两点做BC边的高,垂足分别为E、F
则易知△ABE≌△DCF
BE=CF,AE=DF
利用勾股定理得
BD²=BF²+DF²
BD²=(BC+CF)²+DF²
=BC²+2*BC*CF+CF²+DF²
AC²=AE²+CE²
=AE²+(BC-BE)²
=AE²+BC²-2*BC*BE+BE²
所以BD²+AC²=(BC²+2*BC*CF+CF²+DF²)+(AE²+BC²-2*BC*BE+BE²)
=2*BC²+2(CF²+DF²)
=2*BC²+2*CD²
=BC²+AD²+AB²+CD²
即
BD²+AC²=BC²+AD²+AB²+CD²
余弦定理:
设平行四边形ABCD,两对角线为AC和BD,则BC=AD,AB=CD,
角B+角C=180度,则cosB=-cosC
则AC^2=AB ^2+BC^2-2AB×BC×cosB,BD^2=BC^2+CD^2-2BC×CD×cosC
则AC^2+BD^2=AB ^2+BC^2-2AB×BC×cosB+BC^2+CD^2-2BC×CD×cosC=AB^2+BC...
全部展开
余弦定理:
设平行四边形ABCD,两对角线为AC和BD,则BC=AD,AB=CD,
角B+角C=180度,则cosB=-cosC
则AC^2=AB ^2+BC^2-2AB×BC×cosB,BD^2=BC^2+CD^2-2BC×CD×cosC
则AC^2+BD^2=AB ^2+BC^2-2AB×BC×cosB+BC^2+CD^2-2BC×CD×cosC=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2+2BC×CD×cosC-2BC×CD×cosC
=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2
收起