作业帮话说以前没学线性代数之前,老师一直灌输我们一个概念：有几个未知量,就找几个方程组去解,可是学了线代发现还有无穷多组解,甚至还有无解...其实产生这两种情况的本质原因是什么.我不
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 16:39:57
话说以前没学线性代数之前,老师一直灌输我们一个概念：有几个未知量,就找几个方程组去解,可是学了线代发现还有无穷多组解,甚至还有无解...其实产生这两种情况的本质原因是什么.我不
话说以前没学线性代数之前,老师一直灌输我们一个概念：有几个未知量,就找几个方程组去解,可是学了线代
发现还有无穷多组解,甚至还有无解...其实产生这两种情况的本质原因是什么.我不太理解...
...那你能具体地回答我的问题么.
话说以前没学线性代数之前,老师一直灌输我们一个概念：有几个未知量,就找几个方程组去解,可是学了线代发现还有无穷多组解,甚至还有无解...其实产生这两种情况的本质原因是什么.我不
“有几个未知量,就找几个方程组去解”在大多数情况下没错,但前提是,各个方程的确表示不同的条件,也就是说,形式上方程的个数未必是本质上未知条件的个数.
线性代数的方法可以帮助你分析一个方程组“本质上”包含几个方程. 例如下面一个线性方程组：
2x+3y+z=1 （1）
3x+5y+z=2 （2）
7x+11y+3z=4 （3）
形式上,这个方程组含3个方程,3个未知数,应该有唯一解,但具体计算发现其有无穷多
x=1-2y,z=y-1,y任意.
产生这种现象的原因是,方程（3）是（1）和（2）的线性组合：（3）=2（1）+（2）.
也就是说,若x,y,z的取值满足（1）和（2）,则自然满足（3）.再换种说法,就是在这个方程组中（3）不起作用,解这个方程组等价于解（1）和（2）.从而,这个方程组“本质上”只含2个方程.
上面的分析换成线性代数的语言,就是说方程组的秩是r=2,解空间的维数是3-r=3-2=1.从而有无穷多解.
综上所述,在线性代数中,我们用“方程组的秩”这个概念替代了“方程个数”的概念,从而可以做更准确的分析.
补充一点,楼下真爱挚恋说的和楼主提的问题不是一回事,同一个线性方程组视在不同数域上讨论时,解的情况是相同的.真爱挚恋所说的是多项式方程的情况.