求证在x=【0,π/2】时sin x,cos x,tan x,cot x 不会成等差数列

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/10 17:08:18
求证在x=【0,π/2】时sin x,cos x,tan x,cot x 不会成等差数列

求证在x=【0,π/2】时sin x,cos x,tan x,cot x 不会成等差数列
求证在x=【0,π/2】时sin x,cos x,tan x,cot x 不会成等差数列

求证在x=【0,π/2】时sin x,cos x,tan x,cot x 不会成等差数列
证明:
首先x=0、π/2时,显然不是等差
需要注意在区间(0,π/2)中,有一个常用的不等式:
0tanx
这与不等式sinx

形成等差数列的话,则定有sinx+cotx=cosx+tanx,只需证明此式是否会成立就行了,如果成立,则原命题成立,反之不成立。当成立是,把cotx换成cosx/sinx,tanx换成sinx/cosx,再通分,移项得sinx=cosx,所以,在给定范围内,当x=π/4时,原题成立。LZ,看在这么辛苦的份上,给分吧。...

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形成等差数列的话,则定有sinx+cotx=cosx+tanx,只需证明此式是否会成立就行了,如果成立,则原命题成立,反之不成立。当成立是,把cotx换成cosx/sinx,tanx换成sinx/cosx,再通分,移项得sinx=cosx,所以,在给定范围内,当x=π/4时,原题成立。LZ,看在这么辛苦的份上,给分吧。

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设成等差数列,则
cosx-sinx=tanx-cosx=cotx-tanx
化简后得证。

{修正:应该是(0,pi/2)开区间}
假设等差,即 sinx-cosx=tanx-cotx
得(sinx-cosx)sinxcosx=sinx-cosx
下面讨论之:
(1)x!=pi/4时,
sinxcosx=1,
而sinxcosx=sin(2x)/2<=1/2,矛盾!
(2)x=pi/4时,
显然1/sqr2,1/sqr2...

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{修正:应该是(0,pi/2)开区间}
假设等差,即 sinx-cosx=tanx-cotx
得(sinx-cosx)sinxcosx=sinx-cosx
下面讨论之:
(1)x!=pi/4时,
sinxcosx=1,
而sinxcosx=sin(2x)/2<=1/2,矛盾!
(2)x=pi/4时,
显然1/sqr2,1/sqr2,1,1不成等差数列,亦矛盾!
注:sqr→根号,!=→不等于
证毕!

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