将个没有区别的14小球放入编号为1号2号3号4号的4个盒子里,要求每个盒子都不空,则有几种放法?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 13:57:01

将个没有区别的14小球放入编号为1号2号3号4号的4个盒子里,要求每个盒子都不空,则有几种放法?
将个没有区别的14小球放入编号为1号2号3号4号的4个盒子里,要求每个盒子都不空,则有几种放法?

将个没有区别的14小球放入编号为1号2号3号4号的4个盒子里,要求每个盒子都不空,则有几种放法?
将14个球排成一排,题目可以转化为把这一排球分成4份,只需在相邻两球间隙插入3个隔板即可.14个球有13个间隙,即在这13个间隙中任意找3个间隙.用排列组合知识可知为
C13(下标)3(上标)=13!/(10!*3!)

C(14，4)=14*13*12*11/4*3*2*1=1001(种)

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14个球放入四个盒子里，至少有二个盒子里小球数目不少于4；
每个盒子里至少有一个小球，只有10个球可以随机放入各编号盒里，每个编号盒子里可放1~10个球；

最多球盒子里放11个球时，共有C(4,1)种放置法；
最多球盒子里放10个球时，剩余1个球放入余下三个盒子之中的一个，共有C(4,1)*C(3,1)种放置法；
最多球盒子里放9个球时，剩余2个球放入余下三个盒子中，共有C(4,1)*[C(3,1)+C(3,2)]种放置法；；{剩2个余球放置法：全部放入一盒中、每盒只放一个}；

最多球盒子里放8个球时，剩余3个球放入余下三个盒子中，共有C(4,1)*[C(3,1)+C(3,1)*C(2,1)+C(3,3)]种放置法；{剩3个余球放置法：全部放入一盒中、有二个放入其中一盒中、每盒放一个}；

最多球盒子里放7个球时，剩余4个球放入余下三个盒子中，共有C(4,1)*[C(3,1)+C(3,1)*C(2,1)+C(3,1)]种放置法；{剩4个余球放置法：全部放入一盒、有3个放入其中一盒中、有2个放入其中一盒中（实质是有一盒仅放一个）}；

最多球盒子里放6个球时，剩余5个球放入余下三个盒子中，共有C(4,1)*[C(3,1)/2+C(3,1)*C(2,1)+C(3,1)*(C(2,1)+C(2,2))]种放置法；{剩5个余球放置法：全部放入其中一盒（因与此条件下最多球盒里有相等数量球，种类数量减半）、有4个放入其中一盒中、有3个放入其中一盒中}；

最多球盒子里放5个球时，共有C(4,1)*[C(3,1)*(C(2,1)+C(2,2))/2+C(3,1)*(C(2,1)/2+C(2,1))+C(3,3)]种放置法；{剩6个余球放置法：有4个放入其中一盒中（因与此条件下最多球盒里有相等数量球，种类数减半）、有3个放入其中一盒中（再往下级放置3球于同一盒时种类数减半）、每盒各放2个}；

最多球盒子里放4个球时，共有C(4,2)*[C(2,1)+C(2,2)]种放置法；{有且仅有两盒已各有4球后剩余2个机动余球分别放置于另外两盒中或集中放在一盒}；

符合要求的全部放置种类有：
C(4,1)*{1+C(3,1)+[C(3,1)+C(3,2)]+[C(3,1)+C(3,1)*C(2,1)+C(3,3)]+[C(3,1)+C(3,1)*C(2,1)+C(3,1)]+[C(3,1)/2+C(3,1)*C(2,1)+C(3,1)*(C(2,1)+C(2,2))]+[C(3,1)*(C(2,1)+C(2,2))/2+C(3,1)*(C(2,1)/2+C(2,1))+C(3,3)]}+C(4,2)*[C(2,1)+C(2,2)]
＝4*{1+3+[3+6]+[3+3*2+1]+[3+3*2+3]+[3/2+3*2+3*(2+1)]+[3*(2+1)/2+3*(2/2+2)+1]}+(4*3/2)*[2+1]
=4*{1+3+9+10+12+16.5+14.5}+18=282；

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