求定积分上限1下限02(1+1/2x)^1/2dx

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 18:44:08

求定积分上限1下限02(1+1/2x)^1/2dx
求定积分上限1下限02(1+1/2x)^1/2dx

求定积分上限1下限02(1+1/2x)^1/2dx
原式=∫(+∞→1/2)2√(1+u)*(-1)/(2u^2)*du（设u=1/(2x)）
=√6+(1/2)∫(√(3/2)→+∞)1/[(t^2-1)*t]*2tdt（设√(1+u)=t）=√6+(1/2)ln(5+√6)

令u² = 1 + 1/2x
x = 1/[2(u² - 1)]，dx = - u/(u² - 1)² du
∫(0，1) 2√[1 + 1/(2x)] dx
= 2∫(+∞，√(3/2)) - u²/(u² - 1)² du
令u = secθ，du = secθtanθ dθ
= 2∫...

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令u² = 1 + 1/2x
x = 1/[2(u² - 1)]，dx = - u/(u² - 1)² du
∫(0，1) 2√[1 + 1/(2x)] dx
= 2∫(+∞，√(3/2)) - u²/(u² - 1)² du
令u = secθ，du = secθtanθ dθ
= 2∫(arccos√(2/3)，π/2) (sec²θ*secθtanθ dθ)/(sec²θ - 1)²
= 2∫(arccos√(2/3)，π/2) (sec³θtanθ dθ)/tan⁴θ
= 2∫(arccos√(2/3)，π/2) csc³θ dθ
= 2[(1/2)ln|cscθ - cotθ| - (1/2)cscθcotθ] |(arccos√(2/3)，π/2]
= [ln(1 + 0) - (1/2)(1)(0)] - [ln(√3 - √2) - (√3)(√2)]
= √6 - ln(√3 - √2) ≈ 3.59571

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